Tutkin Pro Gradu työssäni hyperbolista geometriaa puolitasomallin kautta. Tutkielman päätuloksena on osoittaa, että pari (H,dH) on polkumetrinen avaruus.
Aloitan tutkielman käsittelemällä puolitasomallia yleisesti. Määrittelen peruskäsitteitä kuten puolitasomallin joukon H ja kaksi eri tyyppistä hyperbolista suoraa.
Toisessa luvussa lähden tutkimaan joukkoa nimeltä Riemannin kuula. Kyseinen joukko on oleellinen puolitasomallin tarkastelun kannalta.
Riemannin kuulan tarkastelu vie luontevasti tutkimaan Möbius-kuvauksia, jotka säilyttävät hyperbolisen pituuden puolitasomallissa. Nämä kuvaukset ovat tärkeitä kun käsittelen hyperbolista pituutta ja etäisyyttä.
Neljännessä luvussa siirryn tarkastelemaan kaaren pituutta kompleksitasossa. Esittelen polun pituuden käsitteen polkuintegraalin avulla.
Viidennessä luvussa siirryn tutkimaan kaaren pituutta joukossa H ja määrittelen hyperbolisen pituuden käsitteen.
Kuudennessa luvussa esittelen metriikan käsitteen. Tämän lisäksi määrittelen käsitteen polkumetrinen avaruus.
Viimeisessä luvussa todistan, että pari (H,dH) on polkumetrinen avaruus. Samalla määrittelen hyperbolisen etäisyyden dH.
