Browsing by study line "Lärare i matematik"

Työn tarkoitus on kartoittaa verkkopedagogiikan kasvatustieteellisen tutkimuksen keskeisiä alueita ja teoreettista taustaa ja mitä piirteitä laadukkaalla verkkopedagogiikalla ja hyvällä verkkokurssilla on. Työn soveltavana osuutena on lukuteorian teoriaa ja lukuteoriaan liittyviä tehtäviä, jotka on tarkoitettu Lukuteoriaa lukiolaisille -verkkokurssille, jonka sisältö on vuoden 2019 lukion opetussuunnitelman moduulin MAA11 Algoritmit ja lukuteoria mukainen. Opiskelijat toteuttavat tehtävät Python -ohjelmointikielellä. Verkkokursseja voi luokitella muun muassa verkko-opetuksen suhteellisen osuuden, ajoittumisen, avoimuuden ja sen mukaan kuinka paljon kursseilla on yhteistyötä ja yhteisöllisyyttä. Lähes kaikki oppilaitoksien kurssit ovat sekamuotoisia eli sisältävät sekä verkko että lähiopetusta. Verkko-opetus joustavoittaa ja yksilöllistää koulutusta ihmisten ja myös yhteiskunnan tarpeisiin mukautuen. Viimeaikaisen meta-analyysin mukaan lähiopetusta voi vähentää huomattavasti ja silti saada samat tai paremmat oppimistulokset kuin pelkällä lähiopetuksella. Erityisesti tämä tulos pätee luonnontieteiden opetukseen. Vertailtaessa verkkokursseja suhteessa toisiinsa on eroteltu kolme laadukkaan verkko-opetuksen keskeistä piirrettä: suunnittelu, arviointi ja fasilitointi. Suunnittelussa tärkeää oli selkeän oppimispolun ja tarkoituksen tunteen luonti opiskelijoille. Kurssin suunnitelleen ryhmän työn laatua voi arvioida ulkopuoliset asiantuntijat. Fasilitoinnissa tärkeää oli mm. opettajan läsnäolo ja nopea reagointi opiskelijoiden yhteydenottoihin. MOOC-kurssien opiskelijapalautetta arvioitaessa on havaittu, että matemaattisilla ja tietoa käsittelevillä aloilla opettajan ja luennointitaidon merkitys on suurempi kuin muilla aloilla. Verkkopedagogiikan teoreettisesta taustasta löytyy kolme konstruktivistista tutkimustraditiota: tutkiva yhteisö -kehys, käänteinen oppiminen ja tietokoneavusteinen yhteisöllinen oppiminen (CSCL). Konstruktivismissa oppimisen ajatellaan olevan tiedon ja merkitysten rakentumista oppilaan mielessä ja oppimisyhteisön olevan tälle prosessille tärkeä. Keskeinen ongelma ja samalla mahdollisuus on oppimisyhteisön luominen verkkoympäristössä. Tutkiva yhteisö -kehyksen mukaan oppimiselle tärkeitä elementtejä ovat sosiaalinen läsnäolo yhteisössä, opettamisen läsnäolo ja kognitiivinen läsnäolo. Laajojen tähän malliin perustuvien kyselytutkimusten tulokset viittaavat siihen, että sosiaalisen läsnäolon elementin merkitys tiedon rakentumiselle on välillinen, ei suora. Sitävastoin intensiivisemmällä kahden välisellä kommunikaatiolla oli selkeä suora merkitys oppimisen kannalta oli kyse vertaisesta tai opettajasta. Sosiaalista läsnäolon elementtiä voisi siis pitää motivoivana tekijänä ei suoraan tiedon rakentumiseen eli oppimiseen vaikuttavana. Käänteisen oppimisen perusajatus on yhteisen “luokkahuoneajan”, joka voi tapahtua joko verkossa tai kasvokkain, käyttäminen ongelmien ratkaisuun ja käsitteiden selventämiseen, ei tiedon välittämiseen. Käänteisessä oppimisessa painopiste on siirtynyt oppijan oikea-aikaiseen tukemiseen lähikehityksen vyöhykkeellä. Tavoitteena on oppija joka on oppinut oppimaan yksilöllisesti ja itsenäisesti. Suomessa tavoitteena on kaikkien kouluttaminen ja käänteisen oppimisen lähestymistapa sopii tähän hyvin. Meta-analyysissä käänteisellä oppimisella on ollut myönteinen vaikutus oppimistuloksiin. Verkkopedagogiikan tutkimustraditiot muistuttavat puunhaaroja, joista jotkut kuihtuvat ja toiset kasvavat nopeammin. Tyypillistä on, että samoja 20-30 vuotta sitten esitettyjä ajatuksia esitetään uudestaan kaikesta tutkimuksesta ja kritiikistä ja kehitysehdotuksista huolimatta. Traditiot ovat kuitenkin tiukan empiirisiä ja oletetettavasti opetuksessa käyttökelpoisimmat haarat tulevat kasvamaan parhaiten. Mielenkiintoisia tutkimusalueita mielestäni ovat arvioinnin ja kilpailun vaikutus yhteistyöhön ja luova, tuloksia tuottava ja osanottajista miellyttävä yhteistyö. Lukuteorian materiaalien suunnittelussa olen pyrkinyt lähtemään opiskelijoille tutuista laskusäännöistä, joiden avulla laajemmat kokonaisuudet kuten Eukleideen algoritmi tulisivat ymmärrettäviksi. Päämääränä on, että he itse pystyisivät toistamaan lukuteorian rakenteita ymmärtäen ne aikaisempaan tietoon ja intuitioon perustuen

Tämän tutkielman tavoitteena oli selvittää, minkälaisia virheitä kokelaat tekevät matematiikan ylioppilaskokeiden prosenttilaskennan tehtävissä, kuinka suuri osa virheistä ovat virhekäsityksiä ja minkälaisia mahdolliset virhekäsitykset ovat. Uusimpien opetussuunnitelmien perusteella prosenttilaskentaa tulee opettaa sekä perusopetuksessa että lukiossa. Siksi on tärkeää tutkia, mihin opettajien kannattaa opetuksessaan kiinnittää enemmän huomiota. Aikaisempien tutkimusten mukaan virhe voi johtua monesta syystä, mukaan lukien virhekäsityksestä. Virhekäsitys sijaitsee syvemmällä tiedon tasolla ja sen korjaaminen vie enemmän aikaa kuin muiden virheiden korjaaminen. Aineisto koostui vuosien 2019–2021 sähköisistä lyhyen ja pitkän matematiikan ylioppilaskokeiden korkeintaan arvosanan C saaneiden kokelaiden vastauksista. Prosenttilaskentaan liittyviä tehtäviä kyseiseltä aikaväliltä löytyi yhteensä 12, mutta yksi monivalintatehtävä jätettiin aineistosta pois. Jokaisesta tehtävästä poimittiin 20 vastausta, jolloin aineisto rakentui yhteensä 220 vastauksesta. Analysointimenetelmänä toimi kvalitatiiviselle tutkimukselle tyypillinen teoriaohjaava sisällönanalyysi. Aineistosta nousi esiin yhteensä kymmenen erilaista virhetyyppiä. Näistä yleisin oli virhekäsitys prosenttilaskennasta (n=95). Virhekäsitysten prosentuaalinen osuus oli 34,30 prosenttia. Virhekäsitykset liittyivät eniten muutos- ja vertailuprosenttien laskemiseen. Toinen prosenttilaskentaan liittyvä yleinen virhekäsitys liittyi prosenttiyksiköiden ja prosenttiosuuksien eroavaisuuksiin. Opettajien olisi hyvä kiinnittää jatkossa enemmän huomiota prosenttilaskennan kertaamiseen ennen ylioppilaskokeita, varmistaa että opiskelijat ymmärtävät prosentin käsitteet ja osaavat näin myös arvioida omien vastauksiensa järkevyyttä.

Yhtälöiden ja yhtälönratkaisun oppiminen on ollut vaikeaa monelle aihetta opiskelleelle. Vanhemmat tutkimukset osoittavat näiden vaikeuksien taustalla olevan moninaiset virhekäsitysten luokat, joista merkittävimpiä ovat algebralliset rakenteet ja kirjaimet yhtälössä, sieventäminen, yhtäsuuruus ja yhtälönratkaisukeinot. Suomalaisten oppilaiden kohdalla tehdyt tutkimukset osoittavat yhtälönratkaisussa olevan samoja haasteita kuin muuallakin ja erityisesti yhtälöiden osalta nousee esiin merkittävät tasoerot oppilaiden välillä aiheen suhteen. Tutkimus suomalaisten oppilaiden tapauksessa on kuitenkin vähäistä ja keskittyy enemmän peruskouluikäisiin oppilaisiin. Tämän tutkimuksen tarkoituksena on siten tutkia lukiota päättävien opiskelijoiden yhtälönratkaisutaidon tasoa yo-kokeiden monivalinta- ja produktiivisten aukkotehtävien tuloksien pohjalta. Ylioppilastutkintolautakunnan luvalla saatu tutkimusaineisto sisältää vuosien 2019–2021 matematiikan yo-kokeiden yhtälönratkaisuun liittyvät monivalinta- ja produktiiviset aukkotehtävät, joiden avulla analysoitiin opiskelijoiden yhtälönratkaisutaidon osaamista ja tehtyjä virheitä aikaisemman aiheeseen liittyvän teorian näkökulmasta. Analysoitava aineisto piti siis sisällään niin pitkän kuin lyhyen matematiikan tehtäviä ja kaikki tutkintokertojen vastaukset näihin tehtäviin analysoitiin. Aineiston tarkastelu osoitti lukion päättävien opiskelijoiden osaavan pääasiassa perus yhtälönratkaisuntaidot hyvin, mutta niin lyhyen kuin pitkän matematiikan kirjoittajista löytyi opiskelijoita, joilla oli vaikeuksia myös perus yhtälönratkaisutaidoissa. Näiden vaikeuksissa olleiden opiskelijoiden virheiden taustalta löytyi pitkälti samat virhekäsitykset kuin teoria osuudessa oli esitelty.

Tutkielmassa tutustutaan yksilöllisen oppimisen opetusmalliin ja luodaan sen perusteita noudattaen materiaali yhdeksännen luokan todennäköisyyslaskennan kurssille. Materiaalissa sovelletaan yksilöllisen oppimisen mallia opetussuunnitelman kriteereitä noudattaen. Materiaalissa käsitellään yksityiskohtaisesti kurssin arviointia kurssin alussa, keskellä ja lopussa. Jokaiselle arvioinnin vaiheelle on erilliset työkalut, ja lisäksi materiaali sisältää osaamisen tunnistamisen välitestit, dynaamisen itsearviointityökalun ja ryhmäkeskusteluharjoituksen. Tutkielma ja opetusmateriaali on luotu tukemaan opettajia, jotka ovat kiinnostuneet uusista opetusmenetelmistä. Tavoitteena on tehostaa oppimista hyödyntämällä yksilöllisen oppimisen opetusmallia, jossa huomioidaan jokaisen oppijan henkilökohtaiset tarpeet. Tämä saavutetaan käyttämällä luokkahuoneessa vietetty aika tehokkaaseen oppimiseen luentomaisen opetuksen sijaan. Oppimismalli hyödyntää useita erilaisia opetus- ja oppimismalleja, joita ovat tavoiteoppiminen, omatahtinen oppiminen, käänteinen opetus ja pienryhmäoppiminen. Tämä monipuolisuus tekee oppimisesta entistä henkilökohtaisempaa ja tukee tällä tavalla jokaisen yksilön tarpeita ja tunteita.

Yliopiston matematiikan opintojen alussa syvennetään opiskelijoille tuttuja differentiaalilaskennan käsitteitä. Suomalainen lukion opetussuunnitelma korostaa differentiaalilaskennan havainnollista esittämistapaa. Sen sijaan yliopisto-opintoihin kuuluvat käsitteiden täsmälliset määritelmät ja todistaminen, jolloin korostuu matematiikan ymmärtäminen abstraktilla tasolla. Tutkielman kirjallisuuskatsauksessa käydään monipuolisesti läpi, miten matematiikan ymmärtämistä on tutkittu ja ajattelun kehittymisen teorioita esitetty. Tässä tutkielmassa korostuu kielentämisen näkökulma. Matematiikan kielentäminen on ajattelun esittämistä luonnollisella kielellä, symbolein ja kuvin, joista jokainen on omalla tavallaan tarpeellinen. Tutkielmassa keskitytään luonnollisen – eli puhutun ja kirjoitetun – kielen positiiviseen vaikutukseen matematiikan oppimisessa. Tutkimuksessa on tarkoitus havainnoida sekä lukion opetussuunnitelman tavoitteiden täyttymistä että yliopistotasoisten tietojen muodostumista osaksi opiskelijoiden käyttökelpoista tietotaitoa. Opiskelijoilta kysyttiin siksi pelkästään sellaisia matemaattisia kysymyksiä, joihin on mahdollista antaa mielekäs vastaus myös lukiossa annettavan tiedon perusteella, mutta vastauksista saattoi nähdä, kuinka paljon he olivat oppineet yliopistomatematiikalle ominaista tietoa. Tämä oli mahdollista, koska kysymyksiin vastattiin pääasiassa luonnollista kieltä käyttäen. Opiskelijoiden kirjoittamien perusteluiden ja päätelmien perusteella voitiin selvittää yleisiä virhekäsityksiä ja hyvän käsitteellisen ymmärtämisen piirteitä. Tutkimuksen matemaattinen testi toteutettiin Helsingin yliopiston Differentiaalilaskenta-kurssin luentotauolla syksyllä 2019. Vastaajiksi saatiin 71 kurssin opiskelijaa, joiden vastauksista kerättiin laadullisen aineiston lisäksi tietoa opiskelijoiden opintotaustasta ja mielipiteistä. Opiskelijoiden antamia tietoja käytettiin vertailuun testin yhteispisteiden kanssa. Havaittiin muun muassa, että ylioppilastutkinnon matematiikan arvosanan ja käsitteiden ymmärtämistä mittaavan kielentämistestin välillä oli vahva korrelaatio. Tulosten perusteella kyky kielentää matemaattista ajattelua ilmentää opiskelijassa kokonaisvaltaista osaamista, joten matematiikan kielentämiseen tulisi tukea ja ohjata opinnoissa kaikilla opintojen asteilla. Vahvempien teorioiden ja onnistuneen opetuksen tueksi on toivottavaa tuottaa lisätutkimuksia kielentämisestä erilaisissa matematiikan konteksteissa.

Tämän tutkimuksen tavoitteena on verrata pitkän matematiikan kokelasmäärän muutoksia ylioppilaskokeissa lyhyen matematiikan, fysiikan, kemian, keskipitkän ruotsin, terveystiedon ja yhteiskuntaopin muutoksiin. Tutkimuksessa käydään läpi miten pitkän matematiikan ja verrattavien aineiden kokelasmäärät ovat muuttuneet vuosien 2009–2023 aikana, miten uusintakokeiden kokelasmäärät ovat muuttuneet vuosien 2017–2023 aikana, miten ensimmäisen suorituskerran kokelasmäärät ovat muuttuneet vuosien 2017–2023 aikana ja miten miesten ja naisten kokelasmäärät ovat muuttuneet vuosien 2009–2023 aikana. Tarkoituksena on saada parempi ymmärrys, mistä kokelasmäärien muutokset johtuvat ja milloin on tapahtunut suurimmat muutokset. Tutkimuksen teoria osuudessa käydään läpi millaisia muutoksia lukiossa, ylioppilastutkinnossa ja korkeakouluhaussa on tapahtunut vuosien 2010–2023 aikana. Suurimpia muutoksia ovat olleet lukiossa ja ylioppilastutkinnossa tutkinnon sähköistyminen vuosien 2016–2019 aikana, hyväksytyn suorituksen uusimismuutos ylioppilaskokeissa vuonna 2019 ja todistusvalintauudistus korkeakouluhaussa vuonna 2020. Tämän lisäksi käydään läpi miten korkeakouluhaussa pisteytetään ylioppilastutkinto. Teoria osuuden lopuksi käydään läpi tutkimuksia, joissa on tutkittu kokelasmääriä ylioppilaskokeissa ja matematiikan ylioppilaskokeita. Tutkimus toteutettiin analysoimalla tilastoja ylioppilaskokeiden kokelasmääristä, jotka löytyvät ylioppilastutkintolautakunnan verkkosivuilta. Tilastoja analysoitiin graafien avulla ja tutkittiin seuraavia asioita: miten kokelasmäärät ovat muuttuneet vuositasolla, miten aineiden suhteelliset osuudet vuoden kokelaista ovat muuttuneet. Tutkimustuloksista selvisi, että pitkän matematiikan lisäksi fysiikan kokelasmäärä on selvästi kasvanut vuosien 2018–2020 aikana. Näiden kahden kokelasmäärät ovat olleet selvästi korkeammat vuosien 2020– 2023 aikana kuin vuosina 2009–2019. Myös kemian ja yhteiskuntaopin kokelasmäärät ovat pysyneet korkeampina kuin ennen vuotta 2018, mutta ei yhtä paljon kuin pitkän matematiikan ja fysiikan. Lyhyen matematiikan suosio on vaihdellut vuosien 2009–2023 aikana, mutta kuitenkin sen suosio oli vuosina 2020–2023 lähes sama kuin vuosina 2009–2015. Keskipitkän ruotsin ja terveystiedon kokelasmäärät ovat olleet selvästi matalemmat vuosina 2020–2023 kuin vuosina 2009–2019. Suurin syy kokelasmäärien kasvussa on ollut uusintakokeiden määrän kasvu vuoden 2019 jälkeen. Ensimmäisen suorituskerran kokeiden määrät ovat myös kasvaneet erityisesti vuonna 2020 pitkällä matematiikalla, fysiikalla ja kemialla. Lähes kaikilla aineilla sekä uusintakokeiden että ensimmäisen suorituskerran kokeiden kokelasmäärät ovat laskeneet vuoden 2020 tai 2021 jälkeen. Tästä on poikkeuksena pitkä ja lyhyt matematiikka. Miesten ja naisten kokelasmäärien suhteelliset osuudet ovat pysyneet lähes samoina vuosien 2009–2023 aikana kaikissa ylioppilaskokeissa. Tutkimuksen aineista naisten osuus on kasvanut kaikissa muissa paitsi yhteiskuntaopissa. Varsinkin pitkässä matematiikassa, fysiikassa ja kemiassa naisten osuus on selvästi kasvanut vuosien 2009–2023 aikana. Tutkimuksen lopussa pohditaan tutkimuksen luotettavuutta käytetystä aineistosta, kuten aineiston kattavuudesta ja käytetyistä menetelmistä. Lopuksi pohditaan miten tutkimustulokset vertautuvat korkeakouluhaun todistusvalintapisteytykseen. Todistusvalintapisteytyksestä ja tutkimustuloksista voi havaita, että korkeammin pisteytetyt aineet, kuten pitkä matematiikka, lyhyt matematiikka ja fysiikka ovat olleet suosittuja vuosien 2020–2023 aikana. Kuitenkin voi myös havaita, että matalammin pisteytettyjen aineiden, kuten terveystiedon ja yhteiskuntaopin suosio laskivat vuonna 2020, mutta vuosien 2021–2023 aikana niiden suosio on hieman kasvanut. Kemian ja keskipitkän ruotsin suosio on selvästi laskenut vuosien 2021–2023 aikana.

Tämän tutkielman tavoitteena oli selvittää, millaisia virheitä ylioppilaskokelaat tyypillisimmin tekivät matematiikan ylioppilaskokeiden yhtälönratkaisun tehtävissä vuosina 2019–2022. Lisäksi tarkoituksena oli pohtia, miten tyypillisimmät virheet voitaisiin ottaa huomioon matematiikan opetuksessa. Tutkimuksen toteutusta varten valittiin viisi yhtälönratkaisun tehtävää. Tehtäviä valittiin sekä lyhyen että pitkän oppimäärän ylioppilaskokeista. Tutkielma alkaa teoriaosuudella, jonka alussa käydään läpi matemaattista ajattelua sekä matematiikan osaamista, mittaamista ja kehittämistä. Tämän jälkeen esitellään virheiden ja virhekäsitysten teoriaa. Teoriaosuuden lopussa tarkastellaan yhtälöiden opetusta Suomessa perusopetuksen ja lukion opetussuunnitelmien avulla. Tutkimuksessa käydään läpi ja analysoidaan viisi tutkielmaan valikoitua matematiikan ylioppilaskokeen tehtävää. Analysoinnissa keskitytään tarkastelemaan opiskelijoiden ratkaisuja, joista tunnistetaan ja luokitellaan tyypillisimmin esiintyneitä virhetyyppejä. Lopuksi pohditaan tapoja, joilla yhtälönratkaisun opetuksessa voitaisiin huomioida opiskelijoilla tyypillisimmin esiintyneitä virhetyyppejä.