Browsing by Author "Aaltonen, Linda"

I detta Pro gradu arbete behandlar jag LU-faktorisering av matriser som tillhör linjäralgebran och matriskalkylen. Dessutom beskriver jag kort några andra faktoriseringar: gaussisk eliminering, QR-faktorisering och Cholesky-faktorisering. I början av arbetet går jag igenom vad matriser är och definitioner och begrepp som man behöver för att kunna förstå LU-faktoriseringen. Det kan vara långsamt och opraktiskt att lösa matrisekvationen Ax = y. I numerisk matrisberäkning strävar man ofta till att skriva matrisen A som en produkt av två eller flera enkla matriser. Denna process kallas för matrisfaktorisering. LU-faktoriseringen är en matrisfaktorisering, där varje kvadratmatris kan framställas som en produkt av över- och undertriangulära matriser. LU-faktoriseringen är ett exempel på en direkt metod för att lösa linjära ekvationssystem. För en matris A har LU-faktoriseringen formen A = LU. Om A är en kvadratisk matris så blir även L som är en undertriangulär matris och U en övertriangulär matris kvadratiska. Om A inte är kvadratisk så blir inte U kvadratisk och då inte heller triangulär men, L blir kvadratisk och triangulär. Dessutom kan matrisens L diagonalelement väljas som ettor och elementen ovanför huvuddiagonalen är nollor och i matrisen U kommer elementen under huvuddiagonalen att vara nollor. I arbetet ger jag några bevis som hjälper att förstå vad LU-faktorisering går ut på. Jag beskriver också Doolittles och Crouts algoritmer samt gles matrisfaktorisering som leder till olika slags LU-faktoriseringar. Till sist beräknar jag några exempel på uppgifter som har att göra med LU-faktoriseringar och hur man löser dem.