Browsing by Author "Eskin, Oscar Yitzchok Raphael"

Malliavin-laskenta, joka tunnetaan myös nimellä stokastinen variaatio-laskenta, on differentiaali-laskentaa ääretönuloitteisella Wiener-avaruudella. Teoria nojaa laajalti Ito-laskentaan, ja pyrkii tutkimaan Wiener-funktionaalien muodostaman avaruuden rakennetta, sekä kyseisten funktionaalien tiheysfunktioiden ominaisuuksia. Tämän suunnan valitsi ranskalainen matemaatikko Paul Malliavin vuonna 1974, joka käytti kehittämiään menetelmiä tuottamaan probabilistisen todistuksen Hormanderin teoreemaan. Vuoden 1974 julkaisun jälkeen Malliavin laskennan suosio on tasaisesti pysynyt nousussa. Klassinen stokastinen laskenta on integrointia Wiener-prosessin suhteen. Tämän teorian huipennus on martingaali-esitys-lause, joka sanoo, että jokainen neliö-integroituva Wiener-prosessista määräytyvä satunnaismuuttuja voidaan esittää stokastisena integraalina. Luonnollinen kysymys herää: mikä on prosessi jota integroidaan Wiener-prosessin suhteen? Martingaali-esitys-lause on olemassolo- ja yksikäsitteisyystulos, ja siten se ei vastaa tähän kysymykseen. Stokastinen analyysi ei siis kerro mikä tämä prosessi on, mutta Malliavin-laskenta kertoo. Tämä tulos on Clark-Ocone-esityslause, ja sitä on sovellettu laajasti esimerkiksi rahoitus-matematiikassa. Malliavin ensisijainen tarkoitus laskennalle on melko kaukana Clark-Ocone-esityslauseesta. Hänen pyrkimys oli antaa riittävät ehdot stokastisten prosessien tiheyksien sileys-ominaisuuksille. Hän saavutti pyrkimyksensä osoittamalla, että jos Malliavin matriisi, eli matriisi joka koostuu Malliavin derivaatoista, on kääntyvä, ja tämä käännytetty matriisi on integroituva L^p:ssä, p >= 1, saamme riittävät ehdot sileys-ominaisuuksille. Nojaten tähän, hän käytti hyväksi stokastisten sekä ei stokastisten differentiaali-yhtälöiden yhteyttä, ja onnistui tuottamaan probabilistisen esityksen Hormanderin teoreeman todistukselle. Tämän jälkeen merkittävä määrä työtä on tehty Malliavin tuottamien konseptien yleistämiseen erityisesti stokastisten osittais-differentiaali-yhtälöiden parissa. Vuonna 1999 Malliavin-laskenta sai sovelluksen matemaattisessa rahoitusteoriassa, tarkemmin optioiden herkkyysparametrien laskemisen osalta. Malliavin-laskennassa esiintyvän osittais-integrointi kaavan avulla voimme esittää option satunnaismuuttujan painotettuna integraalina. Tämän avulla voimme esittää optioiden herkkyysparametrit, sekä arvioida niitä tehokkaasti Monte-Carlo menetelmillä. Ensimmäisessä kappaleessa pyrin luomaan hieman motivaatiota Malliavin-laskennalle, sekä esittämään tarvittuja esitietovaatimuksia. Toinen kappale esittää Wiener-avaruuden niin sanotun kaaoskehitelman kautta, sekä Malliavin-derivaatan näissa olosuhteissa. Viimeinen osa toisesta kappaleesta tutkii Malliavin-derivaatan liitto-operaattoria, niin sanottua Skorohodintegraalia. Kolmas kappale soveltaa osittain-integrointi kaavaa optioiden herkkyysparametrien laskemiseen, ja lopulta viimeinen neljäs kappale palaa Malliavin-laskennan juurille tutkimaan olemassaolo ja yksikäsitteisyys sekä sileys kysymyksiä Wienerfunktionaalien tiheyksille.