Browsing by Author "Hägele, Miriam"

Säännöllinen vaihtelu on paksuhäntäisten jakaumien tarkastelussa tärkeä osa-alue. Tässä työssä tarkastellaan sekä säännöllisesti vaihtelevia satunnaismuuttujia että säännöllisesti vaihtelevia satunnaisvektoreita ja niiden ominaisuuksia. Satunnaismuuttuja on säännöllisesti vaihteleva, jos sen häntäfunktio on säännöllisesti vaihteleva jollain negatiivisella indeksillä. Silloin pätee: mitä isompi on säännöllisen vaihtelun indeksi, sitä enemmän momentteja on olemassa. Satunnaisvektorin säännöllinen vaihtelu määritellään joukon Radon-mitan avulla. Satunnaisvektori on säännöllisesti vaihteleva, jos n kertaa todennäköisyys, että satunnaisvektori kuuluu joukkoon a(n)A, missä a(n) on kasvava jono, suppenee kohti joukon A Radon-mittaa, kun n kasvaa rajatta. Jos satunnaisvektori on säännöllisesti vaihteleva, niin myös jokainen satunnaisvektorin lineaarikombinaatio on säännöllisesti vaihteleva samalla indeksillä, ja sen lisäksi pätee samanlainen indeksin skaalausominaisuus kuin yksiulotteisessa tapauksessa. Alussa määritellään satunnaisvektorin säännöllinen vaihtelu ja todistetaan siihen liittyvä Karamatan lause sekä Fuk-Nagaev-epäyhtälöt, jotka antavat ylärajoja suurien poikkeamien todennäköisyyksille. Karamatan lause antaa muun muassa yhteyden säännöllisesti vaihtelevan tiheysfunktion ja paksuhäntäisyyden välillä. Sitten laajennetaan säännöllinen vaihtelu satunnaisvektoreihin ja tutkitaan erilaisia säännöllisesti vaihtelevien satunnaisvektoreiden ominaisuuksia. Esitetään myös satunnaisvektorin ja sen komponenttien säännöllisen vaihtelun yhteys. Lopuksi todistetaan suurten poikkeamien päälause ja sovelletaan lausetta esimerkkien valossa. Lauseen mukaan voidaan laskea suhde satunnaisvektorien summan rajatodennäköisyyden ja yksittäisten satunnaisvektoreiden rajatodennäköisyyksien välillä.