Browsing by Author "Häkkänen, Juha"

Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tutkimuksessa keskeinen kysymys on ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys. Monissa tapauksissa on mahdollista löytää klassisesti derivoituva yksikäsitteinen ratkaisu tutkittavalle osittaisdifferentiaaliyhtälölle. Toisinaan kuitenkin on tarpeen laajentaa ratkaisun käsitettä ja etsiä niin sanottuja heikkoja ratkaisuja. Tässä työssä tutkitaan olemassaolo- ja yksikäsitteisyyskysymyksiä hyperbolisten ja elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden osalta. Tavoitteena on osoittaa, että tiettyjen ehtojen vallitessa kyseisille yhtälöille on olemassa yksikäsitteiset ratkaisut. Tämän lisäksi työssä tarkastellaan lyhyesti äärellisten elementtien menetelmää ja puoliryhmien teorian sovellusta osittaisdifferentiaaliyhtälöihin. Tärkeimpänä lähteenä on Lawrence C. Evansin teos Partial Differential Equations. Muut lähteet ovat pääasiassa erilaisia matemaattista analyysia käsitteleviä teoksia. Ensimmäisessä luvussa määritellään keskeisiä käsitteitä ja esitetään jatkossa tarvittavia tuloksia. Esiteltäviä matemaattisia työkaluja ovat muun muassa Sobolev-avaruudet, joiden avulla heikot ratkaisut esitetään. Lisäksi tarvitaan tietoa Bochner-integraalista, joka on jossakin Banach-avaruudessa arvoja saavan funktion integraali. Näiden lisäksi funktionaalianalyysista tarvitaan useita eri tuloksia, jotka tässä luvussa esitellään. Toinen luku keskittyy hyperbolisiin ja kolmas luku elliptisiin osittaisdifferentiaaliyhtälöihin. Molemmista yhtälötyypeistä esitellään ratkaisun olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseet ja niiden todistukset. Elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden yhteydessä esitellään myös äärellisten elementtien menetelmää. Neljännessä luvussa tarkastellaan vakiokertoimisia osittaisdifferentiaaliyhtälösysteemejä. Viidennessä luvussa esitellään toisenlainen lähestymistapa hyperbolisten yhtälöiden ratkaisun olemasaolon todistamiseen käyttäen puoliryhmien teoriaa.