Browsing by Author "Häkkilä, Tuomas"

Tämä tutkielma toimii pitkälti johdantona äärellisulotteisiin Lien algebroihin sekä niiden juurisysteemeihin. Tutkielmassa pyritään määrittelemään tarkasti puoliyksinkertaisten Lien algebroiden juuret ja osoittamaan näitä koskevia tuloksia. Lien algebrat ovat nimensä mukaisesti algebroita, eli vektoriavaruuksia, joihin on määritelty kertolasku. Tämä kertolasku, jota kutsutaan Lien tuloksi, nousee usein Lien ryhmien teoriasta, mutta tämän tutkielman lähtökohta on abstraktimpi. Lien algebrat määritellään siis tässä työssä omana rakenteenaan, ja tästä lähdetään rakentamaan äärellisulotteisten Lien algebroiden teoriaa. Juurisysteemien osalta tutkielma keskittyy puoliyksinkertaisiin Lien algebroihin. Keskeisenä tuloksena osoitetaan, että jokaisella äärellisulotteisella Lien algebralla on Cartanin alialgebra. Lien algebran juurisysteemin määritelmä nojaa Cartanin alialgebraan, ja näin ollen sen olemassaoloon, joten tulos on erittäin olennainen tämän tutkielman sisällön kannalta. Lisäksi ennen Cartanin alialgebran olemassaolon todistusta näytetään joitakin tarvittavia Lien algebroiden teorian tuloksia, kuten Engelin lauseena tunnetta nilpotentteja Lien algebroita koskeva tulos. Lien algebran juuret määritellään Cartanin alialgebran funktionaaleina. Juurten muodostaman juurisysteemin, sekä Killingin muotona tunnetun bilineaarisen muodon avulla näytetään joitakin puoliyksinkertaisia Lien algebroita sekä niiden Cartanin alialgebroita ja itse juuria koskevia tuloksia. Lopuksi tutustutaan tapoihin havainnollistaa juurisysteemeitä. Juurten avulla saadaan ensin muodostettu euklidinen avaruus, mikä mahdollistaa juurten visualisoinnin vektoreina. Lisäksi esitellään Dynkinin diagrammit, jotka kuvaavat Lien algebroiden juurisysteemeitä hyvin minimalistisella tavalla, mutta mahdollistavat silti kaikkien yksinkertaisten Lien algebroiden luokittelun.