Browsing by Author "Haavisto, Jari"

Tapettikuviot ovat kaksiulotteisia kuvioita, joissa tietty osa kuviosta toistuu äärettömän monesti kahdessa suunnassa. Tällaisille kuvioille on ominaista, että tietynlaiset kuvaukset säilyttävät kuvion muuttumattomina. Esimerkiksi tämän tutkielman kansikuvan kuviota voidaan kääntää kolmasosakierros ilman, että katsoja huomaa kuvassa muutosta. Kaikkien niiden kuvausten joukkoa, jotka säilyttävät tapettikuvion muuttumattomana, kutsutaan kyseisen kuvion tapettiryhmäksi. Tässä työssä näytetään, että vaikka tapettikuvioita on rajattomasti, on erilaisia tapettiryhmiä ainoastaan seitsemäntoista erilaista. Tulos ei ole uusi, sillä matemaatikot Fedorov, Schenflies ja Barlow määrittivät jo 1800-luvun lopulla paitsi kaksiulotteisten tapettiryhmien määrän, myös kolmiulotteisten kristallografisten ryhmien määrän. Tässä työssä todistus etenee kuitenkin eri tavalla ja työn tarkoituksena onkin päästä samaan tulokseen käyttäen ryhmäteorian työkaluja pidättäytyen pelkästään kaksiulotteisessa tapauksessa. Tapettikuvion toistumista kahdessa suunnassa kuvaa sen siirtohila. Tutkittaessa tapettikuviota geometrisesti nähdään, että tapettikuviot voidaan jakaa siirtohilansa perusteella viiteen joukkoon. Hilan tyyppi rajoittaa sitä, minkälaisia kuvauksia tapettikuvion tapettiryhmään voi kuulua. Jatkamalla tarkastelua systemaattisesti tapaus kerrallaan nähdään, että mahdollisia tapettiryhmiä on (isomorfiaa vailla) seitsemäntoista erilaista. Tutkielmassa käydään ensin läpi tapettiryhmien tutkimuksessa tarvittavaa taustatietoa ryhmäteoriasta sekä aputuloksia, joita varsinaisessa todistuksessa tarvitaan. Tämän jälkeen luvussa kolme määritellään peruskäsitteet, kuten itse tapettikuvio, sen tapettiryhmä, symmetriaryhmä ja siirtohila. Luvussa neljä näytetään, että jokaisen tapettikuvion tapettiryhmä on yksi seitsemästätoista tapettiryhmästä. Samalla esitellään ja nimetään ryhmät. Viimeisessä luvussa todistetaan, että mitkään näistä seitsemästätoista tapettiryhmästä eivät ole isomorfisia keskenään.