Browsing by Author "Järvinen, Tytti"

Tämän pro gradu -tutkielman aiheena on joukkojen ositus. Tutkielmassa käydään läpi kolmet erilaiset luvut, joiden avulla joukkojen osituksia voidaan laskea. Nämä luvut ovat Stirlingin toiset luvut, Bellin luvut sekä Catalanin luvut. Tutkielma on rakennettu siten, että jokainen näistä luvuista esitellään omassa luvussaan. Jokaisessa luvussa esitellään ensimmäisenä hiukan henkilöhistoriaa kyseisten lukujen keksijästä. Tämän jälkeen käydään läpi lukujen määritelmä ja joitakin havainnollistavia esimerkkejä. Seuraavaksi määritellään joitakin rekursiokaavoja kyseisille luvuilla ja muodostetaan generoiva funktio. Lisäksi Bellin ja Catalanin luvuille muodostetaan myös Bellin kolmio ja Catalanin kolmio. Catalanin luvuista esitellään vielä lopuksi joitakin mielenkiintoisia sovelluksia. Tutkielman ymmärtäminen edellyttää perustietoja kombinatoriikasta. Joitakin kombinatoriikan perusteita kerrataan luvussa kaksi. Luvussa kolme käsitellään Stirlingin toisia lukuja. Stirlingin toisia lukuja merkitään S(n,k), missä n ilmaisee joukon alkioiden lukumäärää ja k kertoo kuinka moniosaisia osituksia halutaan. Stirlingin toiset luvut kertovat, kuinka monella eri tavalla n-alkioinen joukko voidaan osittaa k epätyhjäksi osajoukoksi. Luvussa neljä käsitellään Bellin lukuja. Bellin luvut on mahdollista ilmaista Stirlingin toisten lukujen summana ja ne kertovat, kuinka monella eri tavalla n-alkioinen joukko voidaan osittaa, kun lasketaan mukaan kaikkien mahdollisten erikokoisten ositusten lukumäärä. Bellin lukuja merkitään Bn, jossa n ilmaisee jälleen joukon alkioiden lukumäärää. Luvussa viisi käsittellään Catalanin lukuja. Catalanin lukuja merkitään Cn ja ne ilmaisevat matemattiisissa ongelmissa ratkaisujen lukumäärää. Tässä tutkielmassa pääpaino Catalanin luvuissa onkin niiden sovelluksissa.