Browsing by Author "Järvinen, Vili"

Työ käsittelee tunnettujen virtausdynamiikan yhtälöiden, Navier-Stokesin yhtälöiden ja Eulerin yhtälöiden välistä yhteyttä ja näiden ratkaisujen välisiä suppenemisehtoja. Työn ensimmäisessä kappaleessa esitellään työlle tärkeät perustiedot sisältäen esimerkiksi heikon derivaatan ja Sobolev-avaruuksien määritelmät ja useamman tärkeän funktioavaruuden ja jälkilauseiden määritelmät. Työn toinen kappale käsittelee tarkemmin Navier-Stokesin yhtälöitä ja Eulerin yhtälöitä. Kappaleessa esitellään ensin Navier-Stokesin yhtälöiden määritelmät ja sen jälkeen esitellään määritelmä ratkaisun olemassaololle. Kappaleen päätteeksi esitellään myös Eulerin yhtälön määritelmä. Neljännessä kappaleessa esitellään tutkielman pääaihe, eli Navier-Stokesin ja Eulerin yhtälöiden ratkaisujen välinen yhteys viskositeettitermin lähestyessä nollaa. Kappaleessa esitellään Tosio Katon tulos, jossa annetaan ekvivalentteja ehtoja sille, että Navier-Stokesin yhtälön heikko ratkaisu suppenee viskositeetin supetessa kohti Eulerin yhtälön ratkaisua. Tämä tulos todistetaan tutkiel- massa yksityiskohtaisesti. Lopuksi työn viimeisessä kappaleessa esitellään James. P. Kelliherin lisäykset Katon tuloksiin, jotka näyttävät, että Navier-Stokesin yhtälön ratkaisun u gradientti ∇u voidaan korvata ratkaisun u pyörteisyydellä ω(u). Kuten aiemmassa kappaleessa, niin myös tämä tulos esitellään yksityiskohtaisesti työssä. Työssä on vaadittu laajaa ymmärrystä monelta eri matematiikan osa-alueelta. Työn toinen kappale sisältää pitkälti analyysin metodeja sivuten muun muassa funktionaalianalyysiä ja funktioavaruuksien teoriaa. Kolmannessa ja neljännessä kappaleessa keskitytään pitkälti osittais- differentiaaliyhtälöiden teoriaan. Lisäksi työssä käsitellään laajalti myös reaalianalyysin aiheita. Päälähteinä työssä on käytetty Lawrence C. Evansin ”Partial Differential Equations” -teosta, Tosio Katon artikkelia ”Remarks on Zero Viscosity Limit” ja James P. Kelliherin artikkelia ”On Kato’s conditions for vanishing viscosity limit”.