Browsing by Author "Jokisalo, Misa Matias"

Tämä tutkielma käsittelee kierto- ja peilauskuvausten matemaattista taustaa. Tavoitteena on antaa lukijalle perustavanlaatuinen ymmärrys näiden kuvausten ominaisuuksista, sekä työkalut laskea vektorien kiertoja ja peilauksia. Työssä rajoitutaan tutkimaan äärellisulotteisia euklidisia avaruuksia R^n, eivätkä pohjatietovaatimukset täten ulotu lineaarialgebran perusteita pidemmälle. Ensimmäinen luku esittelee työn tarkoituksen ja rakenteen. Samalla luodaan katsaus siihen vaikeuteen, jonka ihminen kohtaa siirtyessään kolmea ulottuvuutta korkeampiin avaruuksiin. Toinen luku luo tutkielman perustan määrittelemällä vektoriavaruudet, niiden aliavaruudet ja kannat. Keskeiseksi käsitteeksi muodostuva projektiokuvaus määritellään aliavaruuksien suoran summan avulla. Lopuksi lasketaan esimerkki projektiokuvauksesta etsimällä annetulle R^2:n aliavaruudelle kohtisuora komplementti. Kolmannessa luvussa tarkastellaan vektorien välistä kulmaa, pituutta ja erityisesti isometrioita; etäisyydet säilyttäviä kuvauksia. Luvussa osoitetaan origon kiinnittävän isometrian säilyttävän pistetulon, jonka merkitys korostuu seuraavassa luvussa. Työn neljäs luku syventyy lineaarikuvauksiin. Kahden esimerkin avulla nähdään, miten lineaarikuvauksen matriisi muodustuu lähtöavaruuden kantavektorien kuvista. Keskeiseksi käsitteeksi nouseva ortogonaalinen kuvaus määritellään lineaarikuvauksena, jonka kuvausmatriisin A transpoosi A^T on sen inverssi A^T = A^(-1). Luvussa osoitetaan sekä ortogonaalisen kuvauksen olevan origon kiinnittävä isometria että origon kiinnittävän isometrian olevan ortogonaalinen kuvaus. Lopuksi johdetaan projektiokuvaukselle matriisiesitys, joka yksinkertaistaa projektioiden käytännön laskemista merkittävästi. Viidennessä luvussa määritellään kierto- ja peilauskuvaukset avaruudessa R^n. Perusteellinen esimerkki kiertokuvauksesta R^4:ssä yhdistää edellisten lukujen tuloksia. Työ huipentuu isometrian käsitteeseen perustuvaan yhtenevyyden määritelmään ja näyttöön siitä, että sekä kierto- että peilauskuvaukset säilyttävät yhtenevyyden.