Browsing by Author "Kahri, Antti Sakari"

Tämän pro gradu -tutkielman tarkoituksena on esitellä Riemann-Stieltjesin integraalia. Lukijalta odotetaan analyysin peruskurssien osaamista. Yleisesti tässä tutkielmassa käsitellään mielenkiintoisia ja tärkeitä Riemann-Stieltjesin ominaisuuksia. Näihin tuloksiin tarjotaan aina todistukset sekä muutamissa tapauksissa käydään läpi myös esimerkki. Tutkielma nojaa useasti aiemmin tutkielmassa todistettuihin lauseisiin tai määritelmiin, mikä vaatii lukijalta palaamista aiempiin todistuksiin. Mutta tässä tutkielmassa ei ole lainkaan todistuksia, jotka täytyisi tarkistaa muualta. Tässä rakennetaan koko ajan vanhan päälle ja lopussa sitten käydään läpi yksinkertainen esimerkki todennäköisyyslaskennasta, jossa käytetään läpikäytyjä Riemann-Stieltjesin ominaisuuksia. Tutkielmassa käydään läpi ensimmäiseksi Riemann-Stieltjesin integraalin määritelmä ja sen ominaisuuksia. Luvussa 3 käydään läpi muutamia olennaisimmista ominaisuuksista, joihin tullaan viittaamaan seuraavissa kappaleissa. Näitä ovat muun muassa lineaarisuus ja osittaisintegrointi. Porrasfunktiot ovat tämän tutkielman olennaisin funktioiden muoto. Luvussa 4 tulee monta tärkeää lisäominaisuutta ja tarkennusta. Ylä- ja alasummat mahdollisesti avaavat integraalin käsitystä vielä lisää. Rajoitetusti heilahtelevuus on hieno ominaisuus, joka toimii hyvänä linkkinä Riemannin integraaliin. Paljon tulee myös ehtoja Riemann-Stieltjesin integraalin olemassaololle. Luvussa 5 käydään läpi kaksi erilaista väliarvolausetta Riemann-Stieltjesin integraalille. Viimeisessä luvussa katsotaan yhteys todennäköisyyslaskentaan ja käydään läpi yksi yksinkertainen esimerkki.