Browsing by Author "Kuha, Marjo-Riitta"

Tutkielma aloitetaan esittelemällä joitakin lineaarialgebraan liittyviä käsitteitä ja tuloksia, joihin pohjautuen määritellään edelleen geometriset simpleksit. Tämän jälkeen näytetään, miten simplekseistä saadaan muodostettua simpleksisiä komplekseja (tai lyhyemmin komplekseja), määritellään kompleksien tausta-avaruudet ja tarkastellaan sekä kompleksien että niiden tausta-avaruuksien ominaisuuksia. Kaksi viimeksi mainittua, pääasiassa algebrallisen ja osin myös geometrisen topologian käsitettä, ovat tutkielman keskeisimpiä. Niistä kumpikin tulee konstruoiduksi neljän ensimmäisen luvun aikana. Sen lisäksi, että tausta-avaruudet ovat topologisia avaruuksia, kompleksit antavat niille erityisen rakenteen. Tutkielman viidennessä luvussa huomio siirretäänkin sellaisiin tausta-avaruuksien välisiin kuvauksiin, jotka tietyllä tapaa säilyttävät tämän rakenteen. Edelleen, luku 6 viimeistelee komplekseista johdettujen monitahokkaiden määritelmän ja luku 7 esittelee abstraktit simpleksiset kompleksit, jotka sisältävät täysin saman kombinatorisen tiedon kuin geometriset kompleksit. Tutkielman luvussa 8 määritellään huolellisesti simpleksiset homologiaryhmät, jotka ovat luonteeltaan algebrallisia ja nimensä mukaisesti laskettavissa komplekseista. Erityisesti homotopia-invarianttisuutensa johdosta homologiaryhmät ovat käyttökelpoisia työvälineitä useissa topologisissa ongelmissa. Kahdessa viimeisessä luvussa keskitytään tarkastelemaan, mitä tarkoittaa simpleksinen approksimaatio mielivaltaiselle jatkuvalle kuvaukselle. Lisäksi määritellään kompleksien barysentrinen alijako ja todistetaan sitä apuna käyttäen simpleksinen approksimaatioteoria, jonka mukaan jokaista kahden tausta-avaruuden välistä jatkuvaa kuvausta voidaan todella approksimoida luvussa 5 esitellyillä simpleksisillä kuvauksilla. Päälähteinä tutkielmassa on käytetty seuraavia teoksia: Jussi Väisälä, Quasiworld, Luentomuistiinpanot; Max K. Agoston, Algebraic Topology, A First Course ja James R. Munkres, Elements of Algebraic Topology.