Browsing by Author "Kujala, Tuomas"

Tutkielmassa tutustutaan Markov-prosesseihin sekä niiden soveltamiseen vakuutusten hinnoittelussa. Sovellusvaiheessa tutkitaan erityisesti kolmitilaista työkyvyttömyysmallia sekä työkyvyttömyysvakuutuksen nettokertamaksua. Tutkielman aluksi on tarpeellista määritellä Markov-prosessi sekä siihen liittyvät siirtymäintensiteetit. Näiden avulla voimme tutkia tarkemmin Markov-prosessin ominaisuuksia sekä esitellä ja määritellä sovellusten kannalta tärkeitä ominaisuuksia kuten Kolmogorovin differentiaaliyhtälöt sekä polkutodennäköisyydet. Teoriaosuuden tavoitteena on konstruoida diskreettiaikaisen Markovketjun ja hyppyhetkien avulla stokastinen prosessi, joka osoitetaan lopulta olevan jatkuva-aikainen Markov-prosessi. Markov-prosesseille löytyy useita käyttömahdollisuuksia, mutta tässä tutkielmassa keskitytään vakuutusalaan ja sovelletaan niitä vakuutusten hinnoittelussa. Markov-prosessien soveltamisessa on kuitenkin oltava aina hyvin kriittinen, sillä Markov-prosesseille ainoastaan nykytila on relevantti ennustettaessa tulevaisuuden tilaa. Historian 'unohtaminen' vaikuttaa väistämättä saatuihin tuloksiin. Pohditaan sitä kuinka realistisia ennusteita saadaan ja kuinka niitä käyttää hyödyksi. Sovellusosiossa tutustutaan työkyvyttömyyseläkevakuutuksen hinnoitteluun nettokertamaksun avulla. Määritetään kolmitilainen markovilainen malli, jonka tiloina ovat 'työkykyinen', 'työkyvytön' ja 'kuollut'. Oletetaan, että vakuutettu on oikeutettu jatkuva-aikaiseen yhden rahayksikön suuruiseen korvaukseen joutuessaan työkyvyttömäksi. Määritellään tämän mallin avulla Kolmogorovin di erentiaaliyhtälöitä hyväksi käyttäen vakuutuksesta aiheutunut nettokertamaksu kahdella tavalla, vakioisten ja ei-vakioisten siirtymäintensiteettien avulla. Tutkitaan nettokertamaksun suuruutta eri pituisille vakuutussopimuksille. Simuloidaan vielä lopuksi nettokertamaksu vakioisten ja ei-vakioisten siirtymäintensiteettien tapauksessa. Tarkastellaan simuloitujen arvojen ja laskettujen tarkkojen arvojen erotuksen suhdetta tarkkoihin arvoihin. Tutkielmassa on tarpeellista esitellä lyhyesti myös simuloimiseen tarvittava teoria sekä simulointialgoritmi, jota on käytetty Markov-prosessien simuloimisessa. Simulointi on toteutettu Matlab-ohjelman avulla. Tutkielman lukemista helpottaa todennäköisyysteorian ja henkivakuutusmatematiikan perusteiden tuntemus. Toisaalta lukemista on yritetty helpottaa muutamilla merkinnöillä sekä havainnollistavilla kuvilla.