Browsing by Author "Laeslehto, Nonna Helena"

Tämän Pro gradu -tutkielman tarkoituksena on esitellä algebran osa-alueeseen, ryhmäteoriaan kuuluvia ryhmälaajennuksia sekä suoria ja puolisuoria tuloja. Tutkielma alkaa johdannolla, jossa kerrotaan yleisesti ryhmälaajennuksesta sekä sen historiasta ja käyttökohteista. Toisessa kappaleessa esitellään tutkielman ymmärtämiseksi tarvittavat esitiedot ja määritelmät, jotka ovat tunnettuja kurssista Algebra I. Tämän jälkeen kappaleessa kolme siirrytään käsittelemään ensin sisäisiä ja ulkoisia suoria tuloja. Tässä kappaleessa käydään lisäksi läpi esimerkki sisäisestä suorasta tulosta sekä esitellään sisäiseen suoraan tuloon liittyviä lauseita ja tuloksia. Kappaleessa neljä siirrytään käsittelemään sisäisiä ja ulkoisia puolisuoria tuloja, jotka ovat suorien tulojen yleistyksiä. Aluksi käydään läpi sisäinen puolisuora tulo sekä esimerkki tällaisesta tulosta. Sitten määritellään ulkoinen puolisuora tulo ja osoitetaan, että kyseessä on ryhmä. Myöhemmin tässä kappaleessa esitellään lisää puolisuoria tuloja havainnollistavia esimerkkejä sekä käydään läpi puolisuoriin tuloihin liittyviä lauseita. Kappaleen neljä lopussa käydään vielä läpi ulkoisen ja sisäisen puolisuoran tulon yhteys. Tämän jälkeen kappaleessa viisi tiivistetään aiemmin saadut tulokset yhteen käsittelemällä ulkoisten ja sisäisten suorien ja puolisuorien tulojen yhteyksiä toisiinsa. Kappaleessa kuusi esitellään lyhyt eksakti jono, joka on välttämätön ryhmälaajennuksen käsittelemiseksi. Tämän jälkeen kappaleessa seitsemän esitellään ryhmälaajennus sekä yhtenä yleisenä esimerkkinä ulkoinen puolisuora tulo ryhmälaajennuksena. Samassa kappaleessa käydään vielä läpi ryhmälaajennukseen liittyviä lauseita, joissa osoitetaan muunmuassa, että ryhmälaajennuksen avulla voidaan määritellä isomorfia sisäisen ja ulkoisen puolisuoran tulon välille. Tärkeimpänä tuloksena huomataan, että jos ryhmä G on isomorfinen ryhmien N ja H ulkoisen puolisuoran tulon kanssa, niin tekijäryhmä G/N on isomorfinen ryhmän H kanssa. Kappaleen seitsemän lopussa vielä esitellään esimerkkejä ryhmälaajennuksesta, kuten säännöllisen monikulmion symmetriaryhmä Dn.