Browsing by Author "Litmanen, Jenna"

Tiivistelmä – Referat – Abstract Tässä työssä on tarkoituksena esittää Fukushiman hajotelma, jota voidaan käyttää yleistyksenä Itôn lemmalle. Ensimmäisessä luvussa käydään läpi perusteita stokastiselle analyysille. Työ etenee stokastisen analyysin perusteista Markovin prosesseihin ja tähän liittyviin käsitteisiin. Käydään läpi additiivisen funktionaalin käsite ja miten se liittyy käsiteltäviin prosesseihin. Martingaalien kohdalla käydään läpi peruskäsitteet. Tämän jälkeen siirrytään käsittelemään Itôn lemmaan ja tämän todistukseen. Itôn lemma on tärkeä työkalu taloustieteessä, etenkin kun työskennellään varallisuushintojen ja osakemarkkinoiden parissa. Itôn lemma luo pohja sille, kuinka varallisuushinnat voidaan määritellä Brownin liikkeen avulla. Samassa luvussa käsitellään myös muita hyödyllisiä stokastisen analyysin työkaluja. Yksi tällainen työkalu on Doobin-Meyer’n hajotelma martingaaleille ja ennustettavissa oleville prosesseille. Hajotelma on tärkeä työkalu, kun siirrytään korkeammalle tasolle stokastisten yhtälöiden kanssa. Ensimmäisen luvun lopussa käsitellään Sobolevin avaruutta, Dirichlet’n avaruutta ja Dirichlet’n muotoja. Näiden tarkoituksena on valmistaa lukijaa pohjatiedoiltaan seuraavaan lukuun, jossa käsitellään yhtä työn päälauseista Toisessa luvussa käsitellään additiivisen funktionaalin ja martingaaliadditiivisen funktionaalin energiaa ja Radon mittaa. Näiden käsittelyn jälkeen, siirrytään Itôn lemman yleistyksen pariin. Lopulta käsitellään yleistystä Itôn lemmalle. Yleistyksen pohjalla on mahdollisuus ottaa lauseesta “heikompi” versio, jolloin kaikkein vahvimpien ehtojen ja oletusten ei välttämättä tarvitse olla voimassa. Tämä on tärkeää, sillä Itôn lemman ehtona on jatkuvasti kahdesti differentioituvuus, joka ei läheskään aina toteudu stokastisissa prosesseissa. Näin ollen voidaan saavuttaa Itôn lemman edut kevyemmillä ehdoilla. Lopulta käsitellään Fukushiman hajotelmaa, joka on käytännöllinen prosesseille, jotka ovat semimartingaaleja. Fukushiman hajotelman avulla voidaan käsitellä tapauksia, joissa aiemmin käsiteltyjen lauseiden oletukset eivät täyty. Fukushiman hajotelma saadaan rakennettua aiemmin esitellyn lauseen avulla.