Browsing by Author "Mäkinen, Harri"

Tutkielman aiheena on lineaarikuvausten matriisien Jordanin normaalimuoto, jota käytetään yleistettyjen ominaisvektoreiden selvittämisessä niissä tapauksissa, joissa matriisi ei ole diagonalisoituva. Tutkielmassa kerrataan lineaarikuvausten, vektoriavaruuksien ja ominaisarvoteorian perusteet, joten tutkielman lukeminen ei vaadi lineaarialgebran syvällistä tuntemusta. Ominaisarvojen ja ominaisvektoreiden teoriaa ja laskentaa havainnollistetaan myös esimerkkien ja kuvien avulla. Kertauksen lopussa esitetään myös yleistettyjen ominaisvektoreiden periaatteet esimerkkien ja kuvien avulla. Tutkielman pääpaino on similariteettimuunnoksissa ja Jordanin normaalimuodon teoriassa. Similariteettimuunnoksista käsitellään matriisin diagonalisointi, unitaariset matriisit ja Householderin muunnos, joka käsitellään hieman perusteellisemmin. Jordanin normaalimuodon osalta kuvataan itse Jordanin normaalimuoto, yleistetyt ominaisvektorit ja Jordan hajotelman muodostaminen. Unitaaristen matriisien osalta todistetaan jokaisen neliömatriisin similarisuus unitaariyläkolmiomatriisin kanssa. Householderin matriisia käsittelevässä kappaleessa todistetaan Householderin matriisin unitaarisuus ja peilausominaisuudet. Householderin muunnosta havainnollistetaan esimerkkien avulla. Jordanin normaalimuotoon tutustutaan ensin esimerkin avulla. Esimerkin jälkeen esitetään Jordanin normaalimuodon teoreettiset perusteet ja todistetaan Jordan muotoon ja yleistettyihin ominaisvektoreihin liittyvät tärkeimmät lauseet. Lopuksi havainnollistetaan Jordan hajotelman muodostaminen yksinkertaisen esimerkin ja esimerkkiin liittyvien kuvien avulla.