Browsing by Author "Makkonen, Lauri"

Tutkielmassa esitellään Eulerin gammafunktio ja siihen liittyviä keskeisiä tuloksia. Gammafunktio on kertomafunktion yleistys reaaliluvuille lukuun ottamatta ei-positiivisia kokonaislukuja. Tutkielma liittyy matemaattisen analyysin alaan, joka käsittelee reaaliarvoisia funktioita. Tutkielmassa käytetään lauseita, jotka on todistettu matematiikan perusopinnoissa, joten ne oletetaan tunnetuiksi. Kertomafunktion yleistäminen oli 1600-luvulla merkittävä interpolaatio-ongelma, jota pohtivat monet suuret matemaatikot. Vuonna 1729 Euler ratkaisi ongelman esittämällä gammafunktion äärettömänä tulona ja seuraavana vuonna esitti sen integraalimuodon. Tämä integraalimuoto esitellään nykyisin yleensä ensimmäisenä, kun puhutaan gammafunktiosta. Tutkielman alussa perustellaan, miksi gammafunktio on sellainen kuin se on. Gammafunktion eri esitysmuotoja esitellään kronologisessa järjestyksessä tukeutuen oivaltaviin näkökulmiin, minkä jälkeen gammafunktio määritellään tarkasti. Gammafunktioon liittyvät keskeiset lauseet todistetaan. Tärkeimpänä lauseena Bohrin-Mollerupin lause, jonka mukaan kaikista kertomafunktion yleistyksistä vain gammafunktio on logaritmisesti konveksi. Viidennessä luvussa todistetaan gammafunktiolle Weierstrassin tuloesitys, johon liittyy oleellisesti myös Eulerin-Mascheronin vakio. Weierstrassin tuloesitystä käytetään tutkielmassa muissa todistuksissa. Tämän jälkeen esitellään joitakin esimerkkejä ja sovelluksia. Gammafunktiota sovelletaan erittäin laajasti monilla aloilla. Se on keskeinen työkalu toki analyysissä, mutta myös tilastotieteessä, todennäköisyyslaskennassa ja lukuteoriassa. Tutkielmassa esitellään vain osa näistä sovelluksista. Gammafunktion avulla saadaan laskettua myös n-ulotteisen pallon tilavuus. Tutkielman lopuksi esitellään kompleksiarvoinen gammafunktio. Luvussa esitellään myös gammafunktion yhteys Riemannin zetafunktioon. Tämä analyyttisen lukuteorian sovellus on gammafunktion yksi tärkeimmistä sovelluksista.