Browsing by Author "Norvio, Eerik"

Työ käsittelee algebrallista topologiaa. Työn päätavoite on määritellä (ei kuitenkaan konstruoida) luokitteluavaruus topologiselle ryhmälle G. Konstruktiokin tehdään diskreetin ryhmän tapauksessa. Tähän kaikkeen tarvitaan työkaluja pistejoukkotopologiasta, algebrallisesta topologiasta sekä kategoriateoriasta. Ensimmäinen luku koostuu johdannosta. Toisessa luvussa määritellään aivan peruskäsitteitä, kuten topologinen ryhmä, G-avaruus ja samastuskuvaus. Kolmannessa luvussa esitellään säiekimppujen kategoria sekä nykäisy. Nykäisy (engl. pullback) on kategoriateoreettinen käsite, jota tarvitsemme tässä vain topologisten avaruuksien kategoriassa, mutta rakennamme työkalun paljon yleisemmällä tasolla todistusten selkeyden vuoksi. Osoitamme, että säiekimppujen nykäisyt ovat säiekimppuja samalla säikeellä, ja että nykäisyn avulla voidaan palauttaa kaksi eri säiekuvauksen määritelmää toisiinsa. Konstruoimme klassisen esimerkin, Möbiuksen nauhan. Tämä esimerkki demonstroi, että yksinkertaisimmissakaan epätriviaaleissasäiekimpuissa trivialisoivien homeomorfismien konstruointi ei aina ole aivan helppoa. Neljännessä luvussa keskitymme tietyntyyppisiin säiekimppuihin eli G-pääkimppuihin, joiden säie on topologinen ryhmä G ja trivialisoivat homeomorfismit ovat G-ekvivariantteja. Jälkimmäinen ehto aiheuttaa useita vahvoja ominaisuuksia, esimerkiksi että G-pääkimppujen kategoriassa kaikki morfismit ovat isomorfismeja, ja sektion olemassaolo tarkoittaa triviaalisuutta. Havainnollistavana esimerkkinä esittelemme reaaliseen projektiiviseen avaruuteen RPn liittyvän Z/2-pääkimpun. Viidennessä luvussa kehitellään lisää algebrallisen topologian työkaluja. Määrittelemme G-avaruuksien kierretulon ja todistamme muun muassa sen liitännäisyyden. Osoitamme, että tällä konstruktiolla on mielenkiintoinen yhteys säiekimpun nykäisyyn. Lopuksi esittelemme rakenneryhmällä G varustetun säiekimpun ja annamme esimerkin tälläisestä kimpusta. Kuudennessa luvussa todistetaan keskeinen aputulos, joka koskee yhteyttä G-ekvivarianttien kuvausten ja rakenneryhmällä G varustettujen säiekimppujen sektioiden välillä. Sen jälkeen päästään viimeisessä luvussa käsiksi luokitteluavaruuden käsitteeseen, joka rakennetaan homotopiateoreettisten ja kategoriateoreettisten työkalujen avulla. Määritelmässa universaalien säiekimppujen pohja-avaruudet ovat CW-komplekseja, mikä on hyvä lähestymistapa homotopiateorian näkökulmasta.