Browsing by Author "Pylvänäinen, Annika"

Tämän Pro gradun aiheena on satunnaismatriisien ominaisarvojen jakautuminen ja jakauman soveltaminen. Keskitytään erityisesti gaussisiin matriisiensembleihin, toisin sanoen matriisikokoelmiin, joiden alkiot noudattavat normaalijakaumaa. Tämän jakaumaoletuksen pätiessä teoriaa sovelletaan dffuusio-MRI tutkimukseen. Ensimmäisessä luvussa tarkastellaan matriisien ominaisuuksia, jotka ovat keskeisessä roolissa satunnaismatriisien teoriassa. Määritellään neliömatriisin ominaisuuksia kuten matriisin neliömuoto ja determinantti. Määritellään lisäksi matriisiarvoinen satunnaismuuttuja ja sen seurauksena keskitytään satunnaismatriiseihin. Todennäköisyys on keskeinen työkalu satunnaisuutta käsiteltäessä ja määritelläänkin todennäköisyysteorian peruselementtejä. Niiden avulla voidaan laskea satunnaismatriisin multinormaalijakauma sekä sen ominaisarvot ja -vektorit. Luvussa 2 määritellään Wignerin reaalinen symmetrinen- ja Wignerin hermiittinen matriisi. Perehdytään ennen kaikkea gaussiseen ortogonaaliseen (GOE)- ja gaussiseen unitaariseen matriisiensembleen (GUE), jotka ovat Wignerin matriisien erikoistapauksia. Tarkastellaan gaussisten matriisien jakaumaa ja erityisesti lasketaan matriisin ominaisarvojen jakauma. Se on tämän Pro Gradun keskeisempiä tuloksia ja sitä voidaan luvussa 3 soveltaa myös magneettikuvauksen teoriaan. Määritetään lisäksi Mehtan ja Selbergin integraalit, joiden avulla voidaan määrittää jakauman normalisointivakio. Lopuksi tarkastellaan diffuusiotensori- ja diffuusiopainotteista magneettikuvausta. Kuvataan ensin veden di_uusiota toisen asteen tensoreiden ja diffuusiofunktion avulla. Tämä on kolmiulotteinen malli, joka kuvaa diffuusion suuntaa kudoksessa. Monimutkaisempien diffuusioprofiilien, kuten kudosten hienorakenteiden sekä kuitujen leikkauskohtien tarkastelemiseen tarvitaan korkeamman asteen tensoreita. Tutustutaan niiden käyttöön sekä käytön vaatimiin rajoituksiin. Tarkastellaan sekä vektorin että tensorin jakaumia. Määritellään lisäksi rajoitteet, jotka vaaditaan algebrallisten ja geometristen ominaisuuksien säilymiseen muuntautuessa vektori- ja tenroriarvoisten muuttujien välillä. Lasketaan myös jakauman normalisointivakio. Lopuksi tarkastellaan isotrooppisen tensorin ominaisarvojen jakaumaa.