Browsing by Author "Rantakaulio, Meliina Emmiina"

Singulaaristen integraalien teorialla on suuri merkitys muun muassa Fourier-analyysissä, harmonisessa analyysissä ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa. Tässä tutkielmassa tutkimme singulaarisia integraalioperaattoreita, jotka ovat konvoluutio-tyyppisiä. Osoitamme rajoitettujen translaatioinvarianttien integraalioperaattoreiden olevan konvoluutio-tyyppisiä. Tämän jälkeen tarkastelemme, millaiset ytimen ominaisuudet takaavat konvoluutio-tyyppisten integraalioperaattoreiden rajoittuneisuuden. Päätuloksenamme osoitamme konvoluutiotyypin integraalioperaattoreiden olevan rajoitettuja, jos niiden ytimet toteuttavat tietyt suuruus-, sileys- ja kumoutumisehdot. Fourier-analyysi ja singulaariset integraalit kytkeytyvät vahvasti toisiinsa, joten aloitamme kertaamalla Fourier-analyysin keskeisiä tuloksia. Tämän jälkeen esittelemme kaksi singulaaristen integraalien tutkimiseen tarvittavaa tärkeää välinettä: Marcinkiewiczin interpolaatiolauseen ja Calderón-Zygmundin hajotelman. Aloitamme konvoluutio-tyyppisten integraalioperaattoreiden tutkimisen tarkastelemalla ensin Hilbert-muunnosta yksityiskohtaisesti. Tämän jälkeen pääsemme päätulokseemme, jossa laajennamme L^p-rajoittuneisuuden koskemaan yleisiä konvoluutio-tyyppisiä integraalioperaattoreita, joiden ytimillä on samanlaiset ominaisuudet kuin Hilbert-muunnoksen ytimellä. Lopuksi esittelemme esimerkkinä vielä Hilbert-muunnoksen n-ulotteisen vastineen, Rieszin muunnoksen. Sisällön ymmärtämiseksi Fourier-analyysin tuntemus on suotavaa, mutta ei välttämätöntä, sillä tutkielman alussa kertaamme Fourier-analyysin keskeisiä tuloksia.