Browsing by Author "Tuovinen, Anssi Tapani"

Tutkielmassa käsitellään klassisen Poincarén epäyhtälön voimassaoloa euklidisen avaruuden rajoitetuissa alueissa. Epäyhtälön toteutuminen riippuu paitsi integrointialueesta D myös eksponentista p. Oleellista on, että epäyhtälössä esiintyvä vakio ei ole riippuvainen integroitavasta funktiosta. Epäyhtälössä esiintyy lisäksi funktion u integraalikeskiarvo yli alueen D. Työssä käsiteltävät alueet ovat rajoitettuja sekä funktiot Lebesgue-integroituvia näissä alueissa. Luvussa 3 todistetaan Poincarén epäyhtälön voimassaolo konvekseissa alueissa eksponentilla 1 < p < 1. Työn neljännessä luvussa todistetaan Poincarén epäyhtälön voimassaolon pisteen suhteen tähtimäisissä alueissa eksponentilla 1 < p < 1. Lopuksi luvussa 5 tutustumme 'Huoneita ja käytäviä' -tyyppiseen alueeseen, jossa Poincarén epäyhtälö ei ole voimassa eksponentin p > 1 ollessa kyllin pieni. Epäyhtälöä tutkitaan ja esitetyt tulokset ovat voimassa Sobolev avaruuksien funktioilla, vaikka tässä työssä tarkastellaan kerran jatkuvasti derivoituvia funktioita. Epäyhtälöllä on lukuisia sovelluksia osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa.