Browsing by Author "Turunen, Joonas"

Työssä konstruoidaan euklidisen kaksiulotteisen pallonkuoren kanssa melkein varmasti homeomorfinen satunnainen metrinen avaruus, Brownin graafi, ja tarjotaan mahdollinen diskretisaatio pallonkuorelle käyttäen neliötahkoisia tasoverkkoja. Aluksi konstruoidaan Gromovin-Hausdorffin metriikka kompaktien metristen avaruuksien joukkoon. Tämän jälkeen konstruoidaan Corin-Vauquelin-Schaefferin bijektio olennaisesti tason puiden ja neliötahkoisten tasoverkkojen joukkojen välille, missä puiden kaarien ja tasoverkkojen tahkojen lukumäärä on sama kiinnitetty luonnollinen luku ja puiden solmuihin on lisäksi liitetty kokonaisluku. Tämän bijektiivisen vastaavuuden perusteella n-tahkoisten neliötasoverkkojen lukumäärä on helppo laskea kaikille luonnollisille luvuille n. Huomataan, että tasaisesti jakautunut n-tahkoinen neliötasoverkko on satunnaismuuttuja kompaktien metristen avaruuksien avaruudessa ja todetaan, että on mielekästä tutkia näiden satunnaismuuttujien suppenemista jakauman mielessä. Sen jälkeen kun Brownin graafi on konstruoitu esitetään Jean-François Le Gall'n ja Grégory Miermont'n todistama tuore tulos, jonka mukaan Brownin graafi on sopiva skaalaraja diskreeteistä tasoverkoista jakaumien suppenemisen mielessä. Tutkielman lopuksi arvioidaan lyhyesti, kuinka hyvin Brownin graafi kuvaa tasaisesti jakautunutta satunnaista metriikkaa pallon kuorella sekä esitellään aiheeseen liittyviä avoimia ongelmia. Työn motivaationa ovat osaltaan sovellukset kvanttigravitaatioteoriaan.