Browsing by Author "Yli-Juuti, Riitta"

Työssä tarkastellaan Riccatin yhtälöä, joka on epälineaarinen ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö, jossa termi y esiintyy toiseen korotettuna. Riccatin yhtälöä on ensi kertaa tutkittu jo 1700-luvulla. Sittemmin Riccatin yhtälöllä on havaittu olevan merkittävä rooli differentiaalilaskennan lisäksi muilla matematiikan osa-alueilla, erityisesti variaatiolaskennassa sekä optimaalisessa suodatuksessa ja kontrollissa. Tässä työssäkin esiteltävä Riccatin yhtälön ja toisen asteen lineaarisen differentiaaliyhtälön yhteys on saanut matemaatikot tutkimaan sitä ahkerasti. Tässä työssä pääpaino on skalaarimuotoisen Riccatin yhtälön ratkaisemisessa. Työssä esitellään miten tietyt ehdot täyttävä Riccatin yhtälö voidaan sopivalla sijoituksella muuntaa muotoon, joka on helpommin ratkaistavissa. Tarkastellaan myös, miten yhtälö voidaan ratkaista, jos tiedossa on yksi, kaksi tai kolme yksittäisratkaisua. Erityistapauksena tarkastellaan Riccatin yhtälöä, jonka kerroinfunktiot ovat polynomeja. Yleisen Riccatin yhtälön lisäksi tarkastellaan erästä erikoistapausta, jota kutsutaan Riccatin alkuperäiseksi yhtälöksi. Tämän yhtälön merkittävä ominaisuus on sen yhteys Besselin funktioihin, minkä esitellään yhtälön ratkaisun yhteydessä.