Browsing by Author "Yli-Seppälä, Oona"

Reshetnyakin lauseen mukaan kvasisäännöllinen kuvaus, joka ei ole vakio, on avoin, diskreetti ja suunnansäilyttävä. Suunnansäilyttävät kuvaukset määritellään topologisen asteen avulla ja siksi tässä tutkielmassa Reshetnyakin lauseen todistuksessa keskeistä on kvasisäännöllisen kuvauksen osoittaminen suunnansäilyttäväksi. Topologiselle asteelle on tässä tutkielmassa valittu analyyttinen lähestymistapa. Luvussa 3 topologinen aste määritellään jatkuvasti differentioituville funktioille ja luvussa 4 siirretään topologisen asteen määritelmä ja keskeiset tulokset Sobolev-funktioille. Reshetnyakin lauseen todistuksen runkona käytetään Titus–Youngin lausetta, jonka mukaan jatkuvat, kevyet ja suunnansäilyttävät kuvaukset ovat avoimia ja diskreettejä. Titus–Youngin lause esitellään ja todistetaan luvussa 5. Luvussa 6 esitellään kvasisäännölliset kuvaukset. Alaluvussa 6.1 tarkastellaan kvasisäännöllisten kuvausten ja elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden yhteyttä. Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden avulla voidaan osoittaa kvasisäännöllinen kuvaus kevyeksi. Viimeisessä luvussa esitellään Reshetnyakin lause ja osoitetaan, että kvasisäännöllinen kuvaus, joka ei ole vakio, on kevyt ja suunnansäilyttävä. Tällöin kvasisäännöllisen kuvauksen avoimuus ja diskreettisyys seuraa Titus–Youngin lauseesta.