Browsing by Author "Ylinampa, Tuukka"

Tämä pro gradu –tutkielma käsittelee rengasteorian osa-alueita renkaiden alkeista ketjuehtorenkaiden ominaisuuksiin. Ketjuehtorenkailla tarkoitetaan renkaita, jotka toteuttavat nousevan tai laskevan ketjun ehdon. Nousevan ketjun ehdon toteuttavat renkaat ovat Noetherin renkaita ja laskevan ketjun ehdon toteuttavat renkaat ovat Artinin renkaita. Tutkielmalla on kaksi päämäärää, joista ensimmäinen on esitellä ja tutkia ketjuehtorenkaita. Toinen päämäärä on koota ehyt kokonaisuus erilaisista renkaista ja renkaisiin liittyvistä rakenteista. Tutkielmassa esitellään monia rengasteorian rakenteita ja tutkitaan niiden välisiä yhteyksiä. Tutkielman ensimmäinen luku on johdantoa, minkä jälkeen toisessa luvussa käsitellään renkaita, kokonaisalueita ja kuntia. Kolmas luku keskittyy renkaiden ideaaleihin, tekijärenkaisiin ja pääideaalialueisiin. Neljännessä luvussa määritellään alkuideaalit, maksimaaliset ideaalit sekä tekijöihinjaon alueet. Viides luku käsittelee ketjuehtorenkaita eli Noetherin ja Artinin renkaita. Tässä luvussa käydään läpi Hilbertin kantalauseen todistus. Hilbertin kantalauseen mukaan polynomirengas on Noetherin rengas, jos sen kerroinrengas on noetherilainen. Kuudennessa luvussa jatketaan ketjuehtorenkaiden käsittelyä sekä todistetaan, että jokainen pääideaalialue on yksikäsitteisen tekijöihinjaon alue. Kuudennessa luvussa kootaan myös tutkielmassa käsitellyt rengasrakenteet sisältymisen mukaiseen järjestykseen. Lukijalle riittää esitiedoiksi perusteet lukualueista, laskutoimituksista ja ryhmäteoriasta.