Browsing by Author "Ylisirniö, Mika"

Potenssisarjamenetelmällä on mahdollista ratkaista differentiaaliyhtälöitä potenssisarjayritteellä niiden säännöllisten pisteiden ympäristöissä. Menetelmä on mahdollista yleistää Frobeniuksen menetelmäksi, jonka avulla differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen onnistuu yleistetyllä potenssisarjayritteellä myös yhtälöiden singulaaristen pisteiden ympäristöissä, kun singulaariset pisteet eivät ole luonteeltaan 'oleellisia'. Työn tarkoituksena on esitellä ja johtaa Frobeniuksen menetelmä vaiheittain ja vahvistaa sillä löydettyjen ratkaisujen oikeellisuus. Työssä keskitytään vain toisen kertaluvun, lineaarisiin ja homogeenisiin differentiaaliyhtälöihin, joiden kaikki funktiot ovat reaaliarvoisia. Aluksi työssä kerrataan muutamia menetelmän johdossa vaadittavia analyysin määritelmiä ja tuloksia esitiedoiksi oletettujen lähteiden pohjalta. Työn toisessa luvussa menetelmän pohjustukseksi tutustutaan Cauchy-Eulerin yhtälöihin ja luokitellaan yhtälön singulaariset pisteen heikkoihin ja vahvoihin erikoispisteisiin. Osoittautuu, että näistä oleellisia ovat vahvat erikoispisteet ja Frobeniuksen menetelmällä yhtälöiden ratkaiseminen onnistuu heikkojen erikoispisteiden ympäristöissä. Luvun lopuksi johdetaan testi erikoispisteiden luonteelle pisteiden luokittelun helpottamiseksi. Työn kolmannessa luvussa menetelmän motivoimiseksi esitetään lyhyt, suuntaa-antava kuvaus siitä, miten Frobenius alun perin sai idean menetelmäänsä, minkä jälkeen siirrytään työn päätavoitteeseen eli Frobeniuksen menetelmän johtamiseen. Menetelmän johtaminen etenee vaiheittain ja johtamisen aikana löydetyt tulokset kootaan lauseiksi. Johtamisen päätteeksi esitetään muutamia yleisiä huomioita menetelmän käytöstä. Työn lopuksi viimeisessä luvussa annetaan yksinkertainen esimerkki differentiaaliyhtälön ratkaisemisesta menetelmän avulla. Työn päälähteenä on Kenneth Howellin teos Ordinary Differential Equations, An Introduction to the Fundamentals (2014), joka on toistaiseksi internetistä vapaasti luettavissa. Työn toisena tärkeänä lähteenä on R. Kent Naglen, Edward B. Saffin ja Arthur David Sniderin teos Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems (2008).