Browsing by Subject "Eulerin kaava"

Tämä tutkielma käsittelee algebran peruslausetta historiallisesta näkökulmasta. Työssä todistetaan algebran peruslause Lindelöfin oppikirjassa esitettyyn todistukseen tukeutuen. Lindelöfin esittämä algebran peruslauseen todistus perustuu Argandin todistuksen ideaan. Teoriapohjaksi tarvitaan tietoa kompleksianalyysista. Algebran peruslauseen paikkansapitävyys osoitetaan kompleksilukujen joukossa. Algebran peruslauseen todistuksessa todistaan neljä lausetta. Polynomifunktion modulin jatkuvuus osoitetaan ensin. Toisessa lauseessa osoitetaan, että polynomifunktion moduli saa sopivasti valitun ympyrän sisäpuolella ainakin yhdessä pisteessä pienemmän arvon kuin ympyrän ulkopuolella tai sen kehällä. Kolmannessa lauseessa osoitetaan, että ympyrän sisäpuolella on sellainen piste, jossa polynomifunktion moduli saa arvojensa infimumin. Lauseen todistuksessa osoitetaan polynomifunktion modulin saamien arvojen infimum rajatulle alueelle. Polynomifunktion infimumin sijaintia haarukoidaan jakamalla rajattu alue äärellisen moneen osajoukkoon, joista ainakin yhteen modulin saamien arvojen infimum voidaan paikallistaa. Sen osajoukon kohdalla jakoa toistamalla saadaan haluttu modulin infimum paikallistetuksi yhä pienemmälle alueelle. Neljännen lauseen avulla saadaan polynomifunktion modulin infimumille tarkka arvo. Todistuksessa käytetään napakoordinaattiesitystä. Polynomifunktion moduli saa infimumin ainakin yhdessä ympyrän sisäpuolella olevassa pisteessä ja siinä pisteessä infimumin arvo on nolla.