Browsing by Subject "Whitneyn upotuslause"

Tutkielman aiheena oleva Whitneyn upotuslause osoittaa todeksi sen intuitiivisen ajatuksen, että jokainen sileä monisto voidaan upottaa johonkin euklidiseen avaruuteen. Lause on nimetty Hassler Whitneyn mukaan, joka ensimmäisenä todisti sen vuonna 1936. Tutkielma jakautuu kolmeen lukuun, joista ensimmäisessä käymme lävitse tarpeellisia yleisen topologian käsitteitä ja niistä johdettuja lauseita aloittaen tärkeimmistä eli topologisen avaruuden ja kuvauksen jatkuvuuden määritelmistä. Esiteltäviin käsitteisiin kuuluvat lisäksi esimerkiksi homeomorfismi, topologinen upotus, topologian kanta, aliavaruudet ja yhtenäisyys. Luvun lopuksi tutustutaan kompaktiuteen, joka on tutkielman kannalta suuressa osassa, koska sitä käytetään myöhemmin Whitnyeyn upotuslauseen todistuksessa. Toisessa luvussa keskitytään sileiden monistojen teoriaan siinä laajuudessa kuin se tutkielman kannalta on tarpeen. Luvun aluksi määritellään monisto, joka on numeroituvan kannan omaava, lokaalisti euklidinen Hausdorffin avaruus. Sen jälkeen määritellään monistolle sileä rakenne, eli maksimaalinen sileä kartasto, jonka avulla monistosta saadaan sileä monisto. Molemmista edellä mainituista annetaan useita esimerkkejä. Lisäksi todistetaan monistojen ja sileiden monistojen ominaisuuksia. Erityisesti todistetaan esikompaktien kantojen olemassaolo kaikille monistoille. Tämän jälkeen määritellään slieä ykkösen ositus ja todistetaan sen olemassaolo sileille monistoille. Käyttäen edellistä voidaan todistaa sileiden töyssy- ja tyhjennysfunktioiden olemassaolo sileille monistoille. Näitä funktioita käytetään myöhemmin Whitneyn upotuslauseen todistuksessa. Seuraavaksi määritellään monistojen välinen sileä kuvaus ja sen jälkeen derivaatio, tangenttivektori ja tangenttiavaruus, joiden avulla voidaan määritellä sileän kuvauksen differentiaali. Tämän jälkeen siirrytään sileän immersion määritelmään, joka tehdään dfferentiaalin avulla. Sileän immersion avulla saadaan sitten määriteltyä sileä upotus. Luvun viimeisessä osiossa määritellään alimonistot ja niihin liittyvät tasojoukot. Erityisesti määritellään vielä kriittiset pisteet ja arvot. Kolmannessa ja viimeisessä luvussa todistetaan ensin joitain aputuloksia ja sen jälkeen Sardin lause, jota käytetään myöhemmin Whitneyn upotuslauseen todistamiseen. Sardin lauseen mukaan sileiden monistojen välisen sileän kuvauksen kriittisten arvojen joukko on nollamittainen. Tämän jälkeen todistetaan vielä kaksi aputulosta ennen Whitneyn upotuslauseen todistusta. Näistä jälkimmäisessä osoitetaan, että jos on olemassa sileä upotus sileältä n-monistolta jollekin euklidiselle avaruudelle, niin on olemssa sileä upotus avaruudelle R2n+1. Näiden jälkeen päästään todistamaan tutkielman päätulos Whitneyn upotuslause, jonka mukaan jokaisella reunallisella tai reunattomalla sileällä n-monistolla on olemassa vahva sileä upotus euklidiseen avaruuteen R2n+1. Todistus jakautuu kahteen osaan, joissa ensimmäisessä todistetaan tapaus, jossa sileä monisto on kompakti. Tämä tehdään rakentamalla sileä upotus sileän töyssyfunktion avulla. Todistuksen toisessa osassa jaetaan ei-kompakti sileä monisto kompakteihin alimonistoihin tyhjennysfunktion avulla. Tämän jälkeen näiden sileät upotukset yhdistetään töyssyfunktion avulla uudeksi koko moniston peittäväksi sileäksi upotukseksi.