Browsing by Subject "Zornin lemma"

Tämän tutkielman päätavoitteena on esitellä Monskyn lause ja sen todistamisessa tarvittavat työkalut. Monskyn lause toteaa, ettei neliötä voida osittaa parittomaan määrään kolmioita, joilla on keskenään sama pinta-ala. Tutkielma alkaa kategoriateorian kontekstista, jossa raja ja koraja voidaan määritellä universaaliobjekteina mielivaltaisessa kategoriassa. Ensin on tutustuttava muun muassa kategorian, funktorin ja luonnollisen muunnoksen käsitteisiin. Lopuksi tarkastellaan rajan ja korajan tärkeitä erikoistapauksia. Kolmannessa luvussa määritellään p-adiset kokonaisluvut renkaiden kategorian rajakonstruktiona. Tämän osamääräkuntana saadaan p-adisten lukujen kunta, jonka laskutoimituksiin tutustutaan esimerkkien avulla. Neljäs luku keskittyy epäarkhimedisiin itseisarvoihin, valuaatioihin ja erityisesti p-adiseen valuaatioon. Viidennessä luvussa tarkastellaan valuaatiorenkaita ja niiden yhteyttä kunnan valuaatioon. Keskeisimpinä tuloksina todistetaan Zornin lemma ja siihen nojautuva Chevalleyn lause, josta seuraa, että kunnan valuaatio voidaan aina laajentaa ylikuntaan. Seuraavassa luvussa tätä tulosta sovelletaan 2-adiseen valuaatioon. Viimeisessä luvussa esitellään Spernerin lemma ja sen yleistys, jotka vastaavat Monskyn lauseen todistuksen kombinatorista osuutta. Taso väritetään sen jälkeen kolmella eri värillä siten, että pisteiden värit määräytyvät niiden koordinaattien 2-adisista valuaatioista. Värityksen ominaisuuksista ja Spernerin lemmasta seuraa, että neliön tasaosituksessa on oltava parillinen määrä kolmioita. Lopuksi esitellään Monskyn lauseen yleistyksiä muille monikulmioille ja n-ulotteisille kappaleille.