Browsing by Subject "avaruuden perusryhmä"
Now showing items 1-1 of 1
-
(2023)Tässä työssä esitetään ja todistetaan Seifertin--van Kampenin lause. Lauseen avulla voidaan muodostaa perusryhmä topologiselle avaruudelle, joka koostuu sopivalla tavalla kahdesta tai useammasta osa-avaruudesta, joiden perusryhmät oletetaan tunnetuksi. Yleisesti perusryhmän käsite kuuluu algebrallisen topologian alaan, jossa sovelletaan abstraktin algebran käsitteitä ja menetelmiä topologisiin avaruuksiin. Perusryhmä kuvaa tärkeällä tavalla topologisen avaruuden rakennetta: topologisen avaruuden rakenteen esitys algebrallisena rakenteena, ryhmänä, on tärkeä abstraktiokeino, joka avaa merkittäviä mahdollisuuksia topologisia avaruuksia koskevalle päättelylle. Seifertin--van Kampenin lause mahdollistaa tämän päättelyn soveltamisen myös sellaisiin avaruuksiin, joiden perusryhmän muodostaminen suoraan määritelmistä lähtien ei onnistu kohtuudella. \vspace{6pt} Johdantona Seifertin--van Kampenin lauseelle työssä esitetään lauseen kannalta keskeisten algebran ja topologian käsitteiden määritelmät. Lisäksi annetaan ja osin esitetään todistukset keskeisille lauseille, joita tarvitaan Seifertin--van Kampenin lauseen todistuksessa. \vspace{6pt} Esimerkkeinä Seifertin--van Kampenin lauseen sovelluksista johdetaan kiilasumman ja erään graafin perusryhmä. Laajempana sovelluksena määritellään monistojen ja niiden erikoistapauksena kompaktien pintojen käsite ja niiden monikulmioesitys. Lopuksi esitetään ja osin todistetaan Seifertin--van Kampenin lauseen avulla kompaktien pintojen luokittelulause, jonka mukainen jokainen kompakti pinta on homeomorfinen pallon, torusten yhtenäisen summan tai projektiivisten tasojen yhtenäisen summan ja vain yhden näistä kanssa.
Now showing items 1-1 of 1