Browsing by Subject "eksponenttisummat"

Modulimuodot ovat tietyt ehdot täyttäviä kuvauksia ylemmässä kompleksisessa puolitasossa. Modulimuodoilla on Fourier-kehitelmät, joissa ensimmäisen kertoimen ollessa 0 modulimuotoa kutsutaan kärkimuodoksi. Ramanujanin tau -kuvaus on määriteltävissä muun muassa painoa 12 olevan kärkimuodon Fourier-kehitelmän kertoimien avulla. Tässä tutkielmassa tarkastelemme eksponenttisummia, joiden kertoimet ovat Ramanujanin tau -kuvauksen arvoja, ja käymme läpi Matti Jutilan vuonna 1987 julkaiseman tuloksen, joka parantaa J. R. Wiltonin vuoden 1929 asymptoottista arviota näille summille optimaaliseen muotoon. Tutkielmassa syvennytään osaan Jutilan sivuuttamista yksityiskohdista ja pyritään selkiyttämään todistuksen yleistä rakennetta. Tutkielmassa myös huomataan, että Ramanujanin tau -kuvauskertoimiset eksponenttisummat muodostavat tuloksesta erityistapauksen, ja tulos on yleistettävissä koskemaan kaikkia eksponenttisummia, joissa kertoimet ovat jonkin kärkimuodon Fourier-kehitelmän kertoimia.