Browsing by Subject "funktion jatkuvuus"
Now showing items 1-2 of 2
-
(2021)Tämä maisterintutkielma pyrkii havainnollistamaan lukion lyhyen ja pitkän matematiikan opiskelijoiden osaamista valtakunnallisissa ylioppilaskirjoituksissa. Aiheeseen paneudutaan analyysitason funktion derivaatan määrittelyn kautta ja lisäksi sivutaan lyhyesti lukion opetussuunnitelman perusteita vuosilta 2015 ja 2019. Tarkastelun myötä huomataan, että lukion lyhyen matematiikan derivaattakurssin funktion derivaatan määritelmä jää melko kauas tarkasta määritelmästä, kun taas pitkässä matematiikassa päästään hyvin lähelle todellisuutta. Lukiossa saadun opetuksen havainnollistamiseksi tehdään lyhyt oppikirjatarkastelu sekä lyhyen että pitkän matematiikan oppikirjoista. Tutkielmassa käydään laajasti ja perustavanlaatuisesti läpi viimeisen viiden vuoden matematiikan ylioppilaskokeiden derivaattaan painottuvat tehtävät. Tehtäviä analysoidaan niin määrällisesti kuin laadullisestikin sekä lyhyen että pitkän matematiikan osalta. Tutkimus osoittaa, että derivaattatehtäviä on ollut lyhyen matematiikan ylioppilaskokeissa parhaimmillaan kolme kappaletta, kun taas pitkässä matematiikassa suurin derivaattatehtäväesiintyvyys nousee jopa kuuteen tehtävään per koe. Lyhyen matematiikan kokeissa ei abstrakteiksi luokiteltavia tehtäviä ole ollut laisinkaan, pitkässä matematiikassa niitä on ollut muutamia. Kaikissa matematiikan ylioppilaskokeissa derivaattapainotteiset tehtävät ovat olleet hyvin pitkälti soveltaviksi luokiteltavia. Ylioppilaskokelaiden osaamista tutkitaan Ylioppilastutkintolautakunnan laatimien pisteytysohjeiden avulla. Analyysissä huomataan, että yksittäisten derivaattatehtäviksi luokiteltujen derivaattaosuuksista saatavat suurimmat pistemäärät ovat noin kolmasosan luokkaa sekä lyhyen että pitkän matematiikan ylioppilaskokeissa. Pisteytysohjeiden mukaista tehtäväanalyysiä tehdään tutkielmassa yksityiskohtaisesti. Tutkielman suurin painoarvo on derivaattatehtävien pistejakaumissa ja niiden analysoinnissa. Työssä tutkitaan tehtävistä saatuja pistemääriä tehtävien tyypin, laadun ja vaikeusasteiden mukaan. Tutkimus osoittaa, että lyhyessä matematiikalla osataan sekä parhaiten että huonoiten funktion derivointia sekä sen arvon laskemista tietyssä pisteessä. Perustehtävistä saatiin enemmän pisteitä kuin soveltavista tehtävistä ja helppoja tehtäviä osattiin selkeästi paremmin kuin vaikeusasteeltaan haastavampia tehtäviä. Kuitenkin lyhyen matematiikan opiskelijat valitsivat kokeissa eniten soveltavia tehtäviä sekä vaikeusasteeltaan abstrakteja tehtäviä. Pitkän matematiikan kirjoittaneet taas osaavat parhaiten perinteistä funktion derivointia ja huonoiten funktion derivoituvuuden tarkasteluun liittyviä sovelluksia. Tehtävien laatu- ja vaikeusasteluokittelussa hajontaa esiintyi jonkin verran. Tutkimus osoittaa, että pitkän matematiikan opiskelijat valitsevat ylioppilaskokeissa mieluiten ääriarvotehtäviä ja vähemmälle suosiolle jäävät derivoituvuuden tutkimiseen painottuvat tehtävät.
-
(2024)Tämän tutkielman tavoitteena oli selvittää, millaisia virhekäsityksiä lukion pitkän matematiikan opiskelijoilla on funktion derivoituvuudesta ja jatkuvuudesta. Aihetta tutkittiin ylioppilaskoetehtävien ratkaisuista. Tutkielmaan valittiin neljä koetehtävää vuosilta 2020–2022, jotka käsittelivät derivaattaa sekä pisteessä derivoituvuutta ja jatkuvuutta. Tutkielma kuvailee tehtävissä esiintyneitä virhekäsityksiä sekä pohtii mahdollisia syitä virhekäsityksien muodostumiselle. Virhekäsitysten taustalla voi olla heikko konseptuaalinen ymmärrys. Kun opiskelijalla on huono konseptuaalinen ymmärrys, saattaa hänen osaamisensa perustua vain ulkoa opittuihin prosesseihin. Jos opiskelijan osaaminen perustuu vain muistiin, virheitä syntyy helposti, ja opiskelijan on hankala havaita niitä itse. Myös oikeiden sääntöjen yleistäminen uusiin tilanteisiin on useiden virheiden taustalla. Tutkielman teoreettisessa taustassa määritellään, mitä virhekäsityksellä tarkoitetaan. Virhekäsitysten syitä tarkastellaan proseduraalisen ja konseptuaalisen ymmärryksen, representaatioiden ja opiskelijan käsitekuvan näkökulmasta. Tutkielman teoreettisessa pohjassa esitellään lisäksi aikaisempia tutkimuksia aiheesta. Tutkielmassa käytetty aineisto koostui Ylioppilaslautakunnan kokoamasta korpusaineistosta, joka sisältää kokelasratkaisuja ja pistetilastoja vuosien 2019–2020 ylioppilaskokeista. Tämän tutkielman käyttöön saatiin korpusaineistosta 100 koeratkaisua jokaiseen tutkielmaan valittuun neljään koetehtävään. Ratkaisut analysoitiin aineistolähtöisellä sisällönanalyysillä, jossa aineistosta etsittiin opiskelijoiden tekemät virheet. Opiskelijoiden virheistä haettiin yhtäläisyyksiä, joiden perusteella mahdolliset virhekäsitykset luokiteltiin. Tutkielmassa yleisin virhe jatkuvuuden osoittamisessa oli, että opiskelijat tutkivat vain raja-arvon olemassaoloa. Virhe voi syntyä, jos opiskelijat käsittelevät raja-arvoa vain sijoituksena, jolloin raja-arvo vastaa funktion arvoa, mistä seuraa, että funktion arvo jätetään tarkastamatta. Erotusosamäärän raja-arvoa laskettaessa suora sijoitus johti opiskelijoita tuloksiin, joissa derivoituva funktio on derivoitumaton. Lisäksi tutkielmassa havaittiin, että osalla opiskelijoista on virhekäsitys, jossa funktio ei ole derivoituva, jos funktion derivaatta on nolla. Osa opiskelijoista uskoi, että funktion jatkuvuudesta seuraisi funktion derivoituvuus, kun taas osa opiskelijoista väitti epäjatkuvaa funktiota derivoituvaksi. Monet tutkielmassa löydetyt virhekäsitykset esiintyivät myös aikaisemmissa tutkimuksissa. Tutkimustulosten pohjalta opettajien on mahdollista kehittää omaa opetustaan. Kun opettaja tuntee opiskelijoiden yleisimpiä virhekäsityksiä, hän tunnistaa ne nopeammin ja pystyy tarjoamaan tukea näiden korjaamiseen. Virhekäsitykset voivat vaikuttaa uuden tiedon oppimiseen, joten niiden nopea korjaaminen helpottaa opiskelua. Tutkielman tulosten pohjalta voitaisiin suunnitella oppitunteja, jotka pyrkisivät minimoimaan yleiset virhekäsitykset. Mielenkiintoinen jatkotutkimusidea olisi tutkia, millaisia virheitä opiskelijat tekevät, jos opetus on suunniteltu tunnettujen virhekäsitysten pohjalta.
Now showing items 1-2 of 2