Browsing by Subject "jatkuva jakauma"

Pro gradu -tutkielmassani perehdyn jatkuviin jakaumiin kuuluvaan Pareto-jakaumaan. Pareto-jakauma on paksuhäntäinen todennäköisyysjakauma, joka on saanut nimensä keksijänsä italialaisen taloustieteilijä Vilfredo Pareton mukaan. Halusin ottaa tutkimukseni kohteeksi yhden harvemmin todennäköisyyslaskennan oppikirjoissa esiintyvän jatkuvan jakauman. Tutkielmassani johdan Pareto-jakauman tunnusluvut, esittelen sovelluksia sen varhaisesta historiasta aina nykypäivään saakka ja pohdin sen käyttömahdollisuuksia lukio-opetuksen moduuleissa. Pareto-jakaumaa ja sen tunnuslukuja johdettaessa tarvitaan useita käsitteitä, määritelmiä ja lauseita jatkuvien jakaumien yleisestä teoriasta. Tärkeimpiä tutkielmassani esiintyviä todennäköisyyslaskennan käsitteitä ovat satunnaismuuttuja, kertymäfunktio, tiheysfunktio, todennäköisyys, odotusarvo ja varianssi. Tutkielma alkaa johdanto-luvulla, jossa kerron lyhyesti tutkielmani sisällöstä. Johdattelu varsinaiseen aiheeseen jatkuu vielä kahdessa seuraavassa luvussa. Toisessa luvussa esittelen lyhyesti Vilfredo Pareton henkilöhistoriaa ja kolmannessa luvussa käyn läpi jatkuvien jakaumien perusteita. Esittelen tarvittavat määritelmät ja lauseet Pareto-jakauman tutkimista varten. Neljäs luku tutustuttaa lukijan Pareto-jakauman historiaan. Viidennessä luvussa esittelen Pareto-jakauman määritelmän, sen tunnusluvut tarvittavine lauseineen sekä niiden todistukset. Käyn läpi myös Pareto-jakauman eri tyyppejä. Kuudes luku tarjoaa ensin katsauksen Pareto-jakauman sovellusmahdollisuuksista eri tieteenaloilla. Pareto-jakaumaa käytetään edelleen keskeisesti tulojakaumana, joka on sen alkuperäinen käyttötarkoitus. Tähän paneudun kertomalla Suomen kotitalouksien varallisuuden mallintamisesta Pareto-jakauman avulla. Kuudennen luvun lopussa nostan esiin Pareto-jakauman käyttömahdollisuudet superleviävien taudinaiheuttajien, kuten koronaviruksen, tarttumisen mallintamisessa. Viimeisessä, seitsemännessä luvussa pohdin Pareto-jakauman käyttöä lukio-opetuksen eri moduuleissa vuoden 2021 elokuussa käyttöön otettavan uuden opetussuunnitelman mukaisesti ja olen työstänyt esimerkkitehtäviä opetukseen. Pareto-jakauma on erittäin käyttökelpoinen ja ajankohtainen jakauma, joka toimii monissa tilanteissa usealla eri tieteenalalla, erityisesti taloustieteessä. Sen soveltamisesta saa tehtyä hyviä tehtäviä matematiikan lukio-opetukseen oppiainerajat ylittäen, laaja-alaisen oppimisen tavoitteet täyttäen. Sovelluksia voisi tutkia vielä paljon lisää. Tämä pro gradu -tutkielmani on vain lyhyt katsaus Pareto-jakaumaan.