Browsing by Subject "joukko-oppi"
Now showing items 1-2 of 2
-
(2020)Tutkimme kontinuumihypoteesin negaatiota lokaalin joukko-opin näkökulmasta. Näytämme, että kontinuumihypoteesia ei voi päätellä lokaalin joukko-opin intuitionistisessa eikä klassisessa versiossa. Ensimmäisen tuloksen saamme helpohkosti sopivan esilyhdetopoksen avulla ja jälkimmäistä varten kehittelemme myös hieman lyhdeteoriaa. Aloitamme lyhyellä esitietopaketilla, jonka jälkeen määrittelemme topokset. Määrittelemme aliobjektin käsitteen ja konstruoimme topoksessa aliobjektien alkukuvat, äärelliset leikkaukset ja tulot. Lisäksi konstruoimme implikaatit sekä projektion indusoimalle alkukuvakuvauksille adjungaatin, joka vastaa kaikkikvantifiointia. Seuraavaksi määrittelemme topoksen sisäisen kielen, joka on eräänlainen joukko-oppi. Näytämme, miten kieli voidaan tulkita topoksessa ja johdamme sille eheät päättelysäännöt. Sisäistä kieltä käyttäen konstruoimme aliobjekteille kuvat ja äärelliset yhdisteet. Tyhjän yhdisteen ja implikaatin avulla saamme myös pseudokomplementit, joiden avulla voimme määritellä Boolen topokset. Osoitamme, että topos on Boolen topos, jos ja vain jos sen sisäisen kielen logiikka on klassinen. Sisäisen kielen avulla konstruoimme vielä menetelmiä, joiden avulla voimme siirtyä topoksen morfismista sisäisen kielen funktioon ja toisin päin. Osoitamme, että monomorfismista tulee sisäiseen kieleen injektio ja että sisäisestä surjektiosta saadaan ns. parametrisoituja epimorfismeja. Tämän jälkeen muotoilemme kontinuumihypoteesin negaation sisäisen kielen lauseena ja konstruoimme esilyhdetopoksen, jossa kyseinen lause on tosi. Saatu topos ei ole Boolen topos, mutta näemme jo, että kontinuumihypoteesia ei voi lokaalissa intuitionistisessa joukko-opissa päätellä. Jatkamme vielä tavoitteenamme löytää vastaavanlainen Boolen topos. Määrittelemme Grothendieckin topologiat ja niiden lyhteet. Määrittelemme erityisesti ns. tiheän topologian ja näytämme sen yhteyden kaksoisnegaatioon. Osoitamme, että on olemassa lyhteytysfunktori, joka liittää jokaiseen esilyhteeseen lyhteen tietyllä optimaalisella tavalla. Osoitamme myös, että lyhteet muodostavat aina topoksen ja että tiheän topologian lyhteet muodostavat Boolen topoksen. Lopuksi palaamme vielä kontinuumihypoteesin pariin. Osoitamme, että ottamalla aiemmin löydetyn esilyhdetopoksen tiheän topologian määräämän lyhdetopoksen saamme Boolen topoksen, jossa kontinuumihypoteesin negaatio on tosi. Loppupäätelmänä kontinuumihypoteesia ei voi päätellä edes lokaalissa klassisessa joukko-opissa.
-
(2014)Tutkielmassa esitellään Robert Solovayn artikkelin 'A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable (Annals of Mathematics, Second Series, 92, 1970)' reaalijoukkojen Lebesgue-mitallisuutta koskevia tuloksia. Lähtien liikkeelle ZFC:n numeroituvasta ja transitiivisesta mallista — jossa lisäksi oletetaan olevan saavuttamaton kardinaali — Solovay konstruoi artikkelissa ZF+DC:n mallin, missä jokainen reaalilukujen osajoukko on Lebesgue-mitallinen. Edellä DC viittaa riippuvan valinnan aksioomaan, joka implikoi numeroituvan valinnan aksiooman, ja on siten riittävä todistamaan kaikki tavanomaiset positiiviset tulokset Lebesguen mitasta. Tunnetusti ZFC todistaa ei-mitallisen joukon olemassaolon, mutta Solovayn tuloksen perusteella edes ZF+DC ei hylkää lausetta, jonka mukaan kaikki reaalijoukot olisivat Lebesgue-mitallisia. Solovayn mallin reaalijoukoilla on edellä mainitun lisäksi myös muita tärkeitä säännöllisyysominaisuuksia, joista tässä tutkielmassa tarkastellaan täydellisen joukon ominaisuutta: mallissa jokainen reaalijoukko on joko numeroituva tai sisältää täydellisen joukon. Solovayn mallin konstruktio on sovellus Cohenin pakotusmenetelmästä, ja tutkielmassa keskitytään tarkastelemaan lähinnä kahta tapaa tuottaa pakotukseen liittyviä geneerisiä jatkeita. Ensimmäinen näistä on Levy-romautus, missä lähtömallin saavuttamaton kardinaali pakotetaan olemaan geneerisen jatkeen seuraajakardinaali. Tutkielmassa todistettavien tulosten avulla nähdään menettelyn yhteys Solovayn mallin konstruktioon. Yhdessä tulopakotuksen perusteorian kanssa, tätä pakotusmenettelyä voidaan lisäksi soveltaa ω_1:n tai ω_2:n kombinatorisia ominaisuuksia koskeviin ongelmiin; esimerkkinä tästä osoitetaan, että kun lähtömallin saavuttamaton kardinaali Lévy-romautetaan geneerisen jatkeen kardinaaliksi ω_2, ei geneerisessä jatkeessa ole tällöin lainkaan Kurepa-puita. Toinen tarkasteltava pakotusmenettely on satunnaisen reaalin pakotus, joka mahdollistaa Cohenin pakotusmenetelmän soveltamisen mittateoreettisiin ongelmiin. Tämän pakotusmenettelyn tuottaman geneerisen jatkeen määrää yksikäsitteinen reaaliluku nimeltään satunnainen reaali, ja näitä reaalilukuja koskevat tulokset ovat avainasemassa Solovayn mallin ominaisuuksia tutkittaessa. Karkeasti ottaen reaaliluku on satunnainen, jos se välttää kaikki sellaiset nollamittaiset reaalien osajoukot, joiden konstruktio on ''riittävän yksinkertainen''. Satunnaisuuden käsite määritellään tarkasti hyödyntämällä koodia, jonka avulla pakotuksen lähtömallin ja oikean maailman Borel-joukkojen välille saadaan useimmat topologiset ja mittateoreettiset ominaisuudet säilyttävä yhteys. Satunnaisten reaalien tutkimus tuottaa työkaluja, joita hyödyntämällä lopulta nähdään, että Lévy-romautuksen tuottamassa geneerisessä jatkeessa kaikki ω-pituisista ordinaalijonoista määriteltävät reaalijoukot ovat Lebesgue-mitallisia. Tämä havainto on huomattava askel kohti Solovayn mallin konstruktiota. Toisaalta tulos on jo itsessään merkittävä, sillä esimerkiksi jokainen projektiivinen reaalien osajoukko on määriteltävissä ω-jonosta ordinaaleja, joten seurauksena voidaan päätellä, että ZFC ei todista ei-mitallisen projektiivisen joukon olemassaoloa. Tutkielman lopuksi kommentoidaan myös lyhyesti Solovayn tuloksessa tehtävän (edellä mainitun) kardinaalioletuksen tarpeellisuutta.
Now showing items 1-2 of 2