Browsing by Subject "kaksoissuhde"

Tutkielman aiheena ovat Möbius-kuvaukset, jotka ovat olennainen osa kompleksianalyysia ja täten edelleen analyysia. Möbius-kuvauksiin tutustutaan yleensä matematiikan syventävällä kurssilla Kompleksianalyysi 1, jonka lisäksi lukijalta toivotaan analyysin perustulosten tuntemista. Möbius-kuvaukset ovat helposti lähestyttäviä ja mielenkiintoisia ensimmäisen asteen rationaalifunktioita. Kuvauksilla on useita hyödyllisiä geometrisia ominaisuuksia ja niillä voidaan ratkaista kätevästi erilaisia kuvaustehtäviä, minkä vuoksi ne ovatkin erityisen tärkeitä. Tutkielman luku 1 on lyhyt johdatus Möbius-kuvauksiin. Luvussa 2 tutustutaan Möbius-kuvausten kannalta olennaisiin kompleksianalyysin käsitteisiin, kuten laajennettu kompleksitaso, Riemannin pallo sekä alkeisfunktiot. Kolmannessa luvussa määritellään itse Möbius-kuvaukset ja esitetään esimerkkejä erilaisista Möbius-kuvauksista. Luvussa näytetään lisäksi muun muassa, että Möbius-kuvaukset ovat bijektioita sekä konformisia, ja tutkitaan kuvausten analyyttisuutta. Luvussa 4 tutustutaan kaksoissuhteen käsitteeseen ja todistetaan Möbius-kuvausten myös säilyttävän kaksoisuhteet. Luvussa määritellään lisäksi kompleksitason erilaisia puolitasoja sekä ratkaistaan kaksoissuhteen avulla erilaisia kuvaustehtäviä tätä myös kuvin havainnollistaen. Viidennessä luvussa tutustutaan kvasihyperboliseen metriikkaan ja näytetään Möbius-kuvaukset hyperbolisiksi isometrioiksi. Aineistonani tutkielmassa on käytetty pääsääntöisesti Ritva Hurri-Syrjäsen Kompleksianalyysi 1- kurssin sisältöä. Lisäksi luvussa 5 pohjataan Paula Rantasen työhön Uniformisista alueista sekä F. W. Gehringin ja B. P. Palkan teokseen Quasiformally homogeneous domains.