Browsing by Subject "kryptologia"
Now showing items 1-2 of 2
-
(2022)Työn alussa perehdytään lukuteorian merkitykseen sekä sen paikkaan Suomen koulujärjestelmässä. Opetuspaketin motivointina toimivat artikkelit ja tutkimukset lukuteorian opiskelemisen merkityksestä matemaattiselle ajattelemiselle. Motivointia lisäävät myös lukuteorian, salausjärjestelmien ja ohjelmoinnin välillä havaitut laaja-alaiset ja toisiaan täydentävät yhteydet. RSA-salausjärjestelmässä esiintyvät monet lukuteorian käsitteet, joita voidaan käsitellä ohjelmallisesti. Näiden syiden takia tämän työn aiheena on RSA-salausjärjestelmän avulla lukuteoriaan syventävä opetuspaketti. Opetuspaketti on tarkoitettu lukion pitkän matematiikan opiskelijalle, joka on entuudestaan opiskellut vuoden 2019 lukion opetussuunnitelman moduulin MAA11 Algoritmit ja lukuteoria. Opetuspaketti kertaa ja syventää moduulissa MAA11 opittuja lukuteorian käsitteitä sekä esittelee uusina Eulerin φ-funktion (Eulerin phi-funktio), Eulerin teoreeman ja RSA-salausjärjestelmän. Opetuspakettiin kuuluvat teorian ja määritelmien lisäksi monet esimerkit, harjoitustehtävät, (Python-)ohjelmointitehtävät sekä esimerkkiratkaisut. Opetuspaketin tavoitteena on herättää opiskelijan mielenkiintoa lukuteoriaa ja ohjelmointia kohtaan RSA-salausjärjestelmän avulla. Lisäksi opetuspaketin tarkoituksena on laajentaa opiskelijoiden lukuteorian osaamista, syventää yleistä matemaattista ymmärtämistä sekä parantaa ohjelmoinnin taitoja.
-
(2024)Tiivistelmä – Referat – Abstract Verkkopankin avulla voit maksaa etänä ostoksiasi tai tunnistautua. Sähköisissä asiakirjoissa on digitaalinen allekirjoitus. Lääkärillä asioidessa arkaluonteiset tiedot eivät näy kaikille. Yllä on mainittu esimerkkejä tilanteista, joissa käytetään kryptografiaa ja esimerkiksi RSA-järjestelmää. RSA pyrkii datan suojaamiseen ja todentamiseen. Datan suojaaminen on nykypäivänä digitaalisessa maailmassa äärimmäisen tärkeää. Tutkielman aiheena oleva RSA on julkisen avaimen kryptosysteemi ja sen on kehittänyt Ronald Rivers, Adi Shamir ja Leonard Adleman 1970-luvulla. RSA-algoritmi perustuu oletukseen, että alkuluvut on helppo kertoa keskenään, mutta käänteisproseduuri eli luvun tekijöihin jakaminen on aikaavievää ja laskennallisesti haastavaa. RSA-algoritmi on yksisuuntainen funktio. Tällöin funktion f:n kuvaus on julkisesti tiedossa. Kun tiedetään muuttuja x, niin on helppo laskea f(x). Mikäli tiedetään y, niin on vaikea löytää muuttuja x niin, että f(x) = y. RSA-algoritmissa valitaan satunnaisesti kaksi suurta alkulukua p ja q ja kerrotaan ne keskenään. Alkulukujen tuloa kutsutaan moduloksi. Valitut alkuluvut eivät saa olla samat ja niitä pidetään salassa. Alkulukujen tulon jakaminen tekijöihin vie aikaa nykyisillä tietokoneiden laskenta-algoritmeilla. Alkulukujen tulo eli modulo on julkista tietoa. Jos alkuluvut p tai q saadaan selville RSA-algoritmi on käyttökelvoton. RSA-algoritmissa on kaksi avainta: julkinen avain (e,N) ja yksityinen avain (d,N). Algoritmin avulla voidaan luottamuksellinen viesti RSA-salata, jotta vain haluttu vastaanottaja voi lukea viestin. RSA-algoritmi mahdollistaa myös digitaalisen allekirjoituksen. RSA-algoritmin haavoittuvuuksia on analysoitu ja tutkittu algoritmin kehittämisen jälkeen matemaattisin keinoin. RSA-systeemissä on parametreja, joiden tarkoituksena on pysyä salaisina. Jos yksikin näistä parametreista saadaan selville, niin tämä tieto haavoittaa RSA-enkryption ja muut parametrit saadaan selvitettyä. Jos RSA:ta käytetään väärin tai järjestelmäsuunnittelu on virheellinen, niin on mahdollisuus murtaa RSA myös ilman tietoa parametreista. Kvanttilaskenta voi muuttaa tulevaisuudessa nykyisin tunnettua RSA-järjestelmää. Kvanttitietokoneet pystyvät Shorin algoritmia käyttämällä jakamaan suuria lukuja tekijöihin paljon nopeammin kuin perinteiset, klassiset tietokoneet.
Now showing items 1-2 of 2