Browsing by Subject "lukio"

Tämän tutkielman tavoitteena on selvittää tyypillisimmät virheet ja virhekäsitykset eksponentti- ja logaritmitehtävissä. Tutkimuksessa tarkastellaan pitkän ja lyhyen matematiikan ylioppilaskokeen tehtäviä aiheeseen liittyen. Tutkielmassa esitellään lisäksi tarkasteltujen tehtävien vastausmäärät ja pistejakaumat. Tutkielma aloitetaan esittelemällä eksponentti- ja logaritmifunktioiden teoriaa, jonka jälkeen esitellään aikaisempia tutkimuksia logaritmien virhekäsityksistä. Aikaisemmissa tutkimuksissa on havaittu, että logaritmeja koskevat perusajatukset, kuten logaritmin lause, määritelmä ja symboliesitys ovat jääneet epäselviksi oppilaille. Tutkimuksen aineisto, joka saatiin Ylioppilastutkintolautakunnalta, koostui yhteensä neljästä matematiikan tehtävästä, joista kaksi tehtävää oli pitkän matematiikan kokeesta ja kaksi tehtävää lyhyen matematiikan kokeesta. Tutkimuksessa analysoitujen tehtävien perusteella havaittiin, että sekä pitkän että lyhyen matematiikan kokeessa käytössä olleen taulukkokirjan, josta löytyy logaritmin määritelmä ja laskukaavat, kokelaat olisivat voineet hyödyntää paremmin. Logaritmi- ja eksponenttiyhtälön ratkaisuissa ilmeni yhtälönratkaisuun liittyviä haasteita ja logaritmin määritelmään liittyviä virhekäsityksiä. Tutkimuksessa havaittiin lisäksi laskimen käyttöön liittyviä haasteita, kuten logaritmilausekkeen kirjoittaminen laskimeen ja logaritmin tarkan arvon selvittäminen laskimen avulla.

Ylioppilaskokeiden siirtyminen täysin sähköiseksi vuonna 2019 on tuonut merkittävän muutoksen matematiikan oppitunneille. Teknologia on tullut verrattain nopeasti hyvin olennaiseksi työvälineeksi osaksi matematiikan oppitunteja. Yksi käytetyimmistä ohjelmistoista matematiikan oppitunneilla Suomessa on dynaamisen matematiikan ohjelmisto GeoGebra. Tässä tutkimuksessa pohditaan GeoGebran vaikutusta matematiikan oppimiseen ja opetukseen. Tarkoituksena on selvittää, mitä tutkimukset havaitsevat, kun GeoGebralla on korvattu perinteistä opetusta matematiikan oppitunneilla. Tarkastellaan ohjelmiston soveltuvuutta kriittisestä näkökulmasta huomioimalla myös sen tuomat haasteet opetukseen ja oppimiseen. Lisäksi pohditaan, miten sovelluksella voidaan tukea oppijoiden kokemia haasteita etenkin geometriassa keskittymällä erityisesti sen soveltuvuuteen ”mittakaava”-käsitteen opettamisessa. Visualisoinnin ja teknologian voidaan nähdä hyvin keskeisenä osana matematiikan oppimista ja ajattelutaitojen kehitystä. Tutkimuksista havaitaan, että GeoGebran käyttö oppitunnilla toi parempia oppimistuloksia verratessa niitä luokkiin, joissa opetus toteutettiin perinteisellä tavalla. GeoGebran hyötynä nähdään erityisesti sovelluksen monipuolinen ja selkeä käytettävyys, matematiikan osaamisen vahvistaminen, oppimistaitojen tukeminen, ja motivaation lisääntyminen. Ohjelmiston käyttö ei kuitenkaan suoraan takaa menestystä matematiikassa, vaan siihen vaikuttaa suuresti opettajan osaaminen ja käyttö hyödyntää teknologiaa työvälineenä oppitunneilla. Tutkimuksissa tuodaan esiin keskeisenä kehityksen kohteena opettajien ongelmaratkaisutaitojen, palautteen antamisen ja teknologispedagogisen sisältötiedon tukeminen.

Todistaminen matematiikassa nähdään opetuksessa tehtävätyyppinä, jota ei peruskoulussa tai toisen asteen opinnoissa hirveästi harjoitella. Kuitenkin matemaattinen todistaminen on tärkeää, sillä matematiikassa hyödynnetyt kaavat täytyy todistaa, mikäli niitä haluaa käyttää. Tässä tutkielmassa tarkastellaan kolmea pitkän matematiikan ylioppilaskoetehtävää eri kirjoituskerroilta. Tutkielmassa tarkastellaan kokelasratkaisuissa havaittavia virheitä ja virhekäsityksiä pitkän matematiikan ylioppilaskirjoituksien induktiotehtävissä. Tutkielmassa esitellään kokeiden induktiotodistustehtävien vastausmäärät, pistekeskiarvot, pistejakaumat sekä kokelaiden arvosanojen suhteet ansaittuihin pisteisiin. Tutkielman alussa esitetään, miten todistaminen näkyy opetussuunnitelman perusteissa sekä käsitellään induktiotodistus matemaattisesti ja esimerkkien avulla. Neljännessä luvussa esitetään, miten induktiotodistus näkyy lukion oppimateriaaleissa. Luvussa viisi mainitaan aikaisempia tutkimuksia induktiotodistuksesta toisen asteen oppilaitoksissa sekä yliopistoissa. Pitkän matematiikan ylioppilaskoe esitellään luvussa kuusi. Luvussa seitsemän kerrotaan, miten tutkimus on toteutettu. Lisäksi luvussa esitetään tarkasteltavana olevat ylioppilaskoetehtävät, niiden ratkaisut sekä kokelasratkaisujen analysointi. Kahdeksannessa luvussa vertaillaan tutkimuksen tuloksia aikaisempiin tutkimuksiin. Luvuissa yhdeksän ja kymmenen pohditaan tutkimuksen luotettavuutta sekä mahdollisia jatkotutkimuskohteita. Tutkimuksessa käsiteltyjen kokelasratkaisujen perusteella voidaan todeta, että mitä paremman arvosanan kokeesta sai, sen parempia pistemääriä induktiotodistustehtävistä oli saatu. Induktiotodistustehtäviä kokelaat olivat tehneet vähän ja pistemäärät tehtävissä olivat alhaiset. Analyysin perusteella suurin virhekäsitys koskee induktiovaihetta. Kokelaat eivät osanneet muodostaa induktio-oletusta ja käyttää sitä hyödyksi induktioväitteen todistamiseen. Kokelailla oli haasteita peruslaskutoimituksissa sekä summan määritelmässä. Opetuksellisesta näkökulmasta tutkimuksen tulokset ovat merkittäviä, sillä oppilaiden on sisäistettävä matemaattiset ilmiöt ja sovellettava niitä sekä käytännössä että ohjelmistoja käyttäessä. Tutkimuksen tulokset tukevat aikaisemmin tehtyjen tutkimuksien tuloksia. Tulevaisuudessa voisi tutkia, tukeeko tutkimukseni kevään 2023 ylioppilaskokeen induktiotehtävissä ilmeneviä virhekäsityksiä, sekä mitä virhekäsityksiä yliopisto-opiskelijoilla on induktiotodistusta käsittelevän kurssin aikana tai kurssin jälkeen.

Tutkielman tavoitteena oli selvittää, minkälaisia virheitä lukiolaiset tekevät kertolaskusäännön tehtävissä sekä tutkia, tunnistavatko he toisistaan riippuvat ja riippumattomat tapahtumat. Aihetta on tärkeä tutkia, sillä kertolaskusääntö on yksi todennäköisyyden laskusäännöistä ja luo siten perustan todennäköisyyksien laskuille. Tutkielma alkaa teoriaosuudella, jossa ensiksi käydään läpi todennäköisyyslaskennan teoriaa ja tämän jälkeen virheiden sekä virhekäsitysten teoriaa. Teoriaosuuden jälkeen esitellään lyhyesti pitkän matematiikan ylioppilaskoe. Tutkimuksessa käydään läpi viisi pitkän matematiikan ylioppilaskokeen tehtävää ja ne analysoidaan. Työn lopuksi esitellään tehtäväpaketti tukemaan kertolaskusäännön opiskelua. Tutkimustuloksista havaittiin, että yleisimmät kertolaskusäännön virheet johtuivat vaikeuksista erottaa toisistaan riippuvat ja riippumattomat tapahtumat toisistaan. Virheistä noin 14% johtui tästä. Toinen yleinen virhe, mikä tuloksista nousi esille, oli sekaannukset kerto- ja yhteenlaskusäännön välillä. Virheistä noin 9% johtui tästä. Opettajan on tärkeä tiedostaa nämä yleiset virhetyypit, jotta voi osaltaan ennaltaehkäistä niiden syntymistä.

Tutkielmassa paneudutaan kielentämiseen ja erilaisiin kielentämistehtävätyyppeihin lukion pitkässä matematiikassa. Pohjana itse laadittuihin tehtäviin ovat aikaisemmat tutkielmat ja artikkelit aiheeseen liittyen, sekä viimeisimmät pitkän matematiikan sähköiset ylioppilaskoe tehtävät. Tutkielman aikana laaditaan aiempiin tehtävätyyppeihin nojaten geometrian tehtäviä lukiomatematiikkaan. Tutkielman kirjallisuuskatsauksessa tarkastellaan, mitä on matemaattinen ajattelu ja tieto ja miten kielentämällä voidaan tuoda esiin oppilaiden omaa matemaattista osaamista. Lisäksi tarkastellaan, millä eri menetelmillä voidaan hyödyntää kielentämistä osana opetusta. Lopuksi tarkastellaan, miten kielentäminen on esillä uudessa vuonna 2021 käyttöön otetussa LOPS:ssa. Kielentämistehtävätyyppejä tuodaan esiin aikaisempien tutkielmien pohjalta. Näiden tehtävätyyppien pohjalta laadin itse sopivia tehtäviä pitkän matematiikan geometrian moduuliin. Tehtävissä esiintyy eri tehtävätyyppien piirteitä, jolloin ne eivät täysin tule luokitelluksi vain yhdeksi tehtävätyypiksi. Tehtävät laaditaan niin, että ne soveltuvat niin ylioppilaskokeeseen kuin moduulin aikana pidettäväksi kokeeksi. Tehtävien arvioinnissa ja analyysissä hyödynnetään Joutsenlahden pelkistetympää arvostelua Wilsonin taksonomiasta. Tutkielman aikana laaditut tehtävät luokitellaan kyseisellä menetelmällä. Joutsenlahden asteikko koostuu kolmesta tasosta, jossa Wilsonin taksonomiat on risteytetty toistensa kanssa. Luokittelussa huomioidaan jokaisen taksonomian tason piirteet, joiden mukaan tehtävä tulee jaotelluksi. Lisäksi tehtävien luokittelussa huomioidaan sähköisen ylioppilaskokeen järjestely, jossa tehtäviä on kolmessa eri osassa. Tehtävä tulee jaotelluksi sen mukaan, mikä on korkein ajattelun taso, jota oppilaalta vaaditaan ongelman ratkaisemiseksi. Lisäksi tehtävässä huomioidaan se, onko se soveltuva A vai B osaan pitkän matematiikan koetta.

Koulutuksellisen tasa-arvon nähdään toteutuvan, kun kenenkään taustaan liittyvät ominaisuudet, esimerkiksi sukupuoli, asuinpaikka tai äidinkieli eivät ennusta sitä, mihin koulutukseen kukin hakeutuu ja kuinka siinä menestyy. Vaikka suomalainen koululaitos on niittänyt kansainvälistäkin tunnustusta erinomaisilla oppimistuloksillaan ja menestyksellään PISA-testeissä, löytyy koulutuksellisen tasa-arvon suhteen puutteita myös tässä menestystarinassa. Itse asiassa juuri PISA-tulokset ovat osoittaneet, kuinka suomalainen koulutusjärjestelmä ei ole onnistunut tukemaan parhaalla mahdollisella tavalla maahanmuuttajataustaisten oppilaiden koulutusta. Vuoden 2018 PISA-testin mukaan kaikkien OECD-maiden eriarvoisimmat tulokset löytyivät Suomesta, kun verrattiin kantaväestön ja maahanmuuttajien tuloksia. Koska nimenomaan koululaitos nähdään maahanmuuttajataustaisten lasten ja nuorten ensisijaisena väylänä yhteiskuntaan integroitumisessa, on koulutukselliseen tasa-arvoon erityisen tärkeää kiinnittää huomiota nopeasti monikulttuuristuvassa yhteiskunnassa. Esimerkiksi kielitietoisen opetuksen voisi nähdä tarjoavan joitakin ratkaisuja aiheeseen. Vieraskieliseksi opiskelijaksi määritellään tässä tutkimuksessa jotain muuta kuin suomea, ruotsia tai saamea äidinkielenään puhuva henkilö. Vieraskielisten osuus väestöstä kasvaa jatkuvasti, ja yhä useampi vieraskielinen nuori valitsee peruskoulun jälkeen toisen asteen koulutukseksi lukiokoulutuksen. Kuitenkin vahvasti kirjalliseen osaamiseen perustuvan lukiokoulutuksen on ollut haasteellista vastata vieraskielisen opiskelijan kielitaitoon liittyviin erityispiirteisiin. Haasteita vieraskieliselle opiskelijalle asettaa esimerkiksi sisältöjen ja vieraan kielen samanaikainen opiskelu. Lisäksi minkä tahansa tieteenalan opiskelu vaatii kyseisen tieteenalan kielen oppimista. Tieteen kielellä on sen oma erityinen sanasto, semantiikka ja syntaksi, joiden hallinta on edellytyksenä itse tieteen hallinnalle. Opiskelija, joka siis tiedettä joutuu opiskelemaan itselleen vieraalla kielellä, on näin ollen ikään kuin kaksinkertaisen kieleen liittyvän haasteen edessä. Tämä väistämättä asettaa vieraskielisen opiskelijan epätasa-arvoiseen asemaan suomea äidinkielenään puhuvan opiskelijan rinnalla. Lukion oppitunnilla opiskelijalla on mahdollisuus päästä näyttämään osaamistaan monin eri tavoin. Usein arvioinnissa painottuu kuitenkin summatiivinen kurssikoe, jossa testataan ainoastaan opiskelijan kirjallista osaamista. Myös lukiokoulutuksen päättävissä ylioppilaskokeissa arvioinnin kohteena on nimenomaan opiskelijan kirjallinen osaaminen, joka välittyy erilaisiin tehtäviin annettujen kirjallisten vastausten kautta. Tämän tutkimuksen tavoitteena onkin selvittää, kuinka lukio-opiskelijan suomen kielen taito näkyy tehtäviin annetuissa kirjallisissa vastauksissa. Oppiaineista tämä tutkimus rajoittuu fysiikkaan, ja aineisto on kerätty Helsingin kielilukion ensimmäisen vuosikurssin fysiikan opiskelijoilta. Opiskelijat suorittivat FY2 Lämpö -kurssia, ja tutkimuksen aineistona toimiikin tämän kurssin oppikirjan tehtävät, opettajan antamat tuntitehtävät sekä opiskelijoiden vastaukset näihin tehtäviin. Tehtävien tehtävänannot luokiteltiin Andersonin ja Krathwohlin taksonomiataulun eri soluihin. Opiskelijoiden vastaukset luokiteltiin eri luokkiin niiden laadun perusteella. Suomen kielen taitoa tutkittiin vastauksissa esiintyneiden kielellisten virheiden ja oikein käytettyjen tieteellisten termien avulla. Andersonin ja Krathwohlin taksonomiataulun lisäksi teoreettista viitekehystä rakentaa kognitiivinen kuormitusteoria. Tutkimuksessa havaittiin, että opiskelijoiden tekemät tehtävät eivät kognitiiviselta vaatimustasoltaan olleet erityisen hankalia. Opiskelijoiden vastausten analyysin tulosten mukaan noin puolet opiskelijoiden vastauksista oli laadultaan rikkaita, mutta yli kolmasosa oli laadultaan heikkoja tai (esimerkiksi malliratkaisuista) kopioituja. Selkeästi suurin osa kopioiduista vastauksista oli annettu paljon sanallista selitystä vaativiin tehtäviin. Tehtävätyypiltään rutiininomaisiin laskutehtäviin sekä yksinkertaisiin kuvaajien piirto- tai tulkitsemistehtäviin oli annettu eniten rikkaita vastauksia. Lisäksi kielellisten virheiden sekä oikein käytettyjen tieteellisten termien havaittiin korreloivan vastauksen laadun kanssa.

Tutkielman tavoitteina on tarkastella lukuteoriaa ja sen soveltuvuutta lukio-opetukseen sekä kirjallisuuteen perustuen selvittää, mitä hyötyä lukuteorian ja ohjelmoinnin yhdistämisessä opetuksessa voisi olla. Motivaationa taustalla toimii lukion uusi opetussuunnitelma 2019 ja erityisesti pitkän matematiikan valtakunnallinen syventävä kurssi MAA11 – Algoritmit ja lukuteoria, jonka keskeisiin sisältöihin sekä lukuteoria että ohjelmointi kuuluvat. Pääasiallisena osana tutkielmaa esitellään konkreettisia ohjelmointiharjoituksia ja -kokonaisuuksia, joiden avulla lukuteorian eri aihealueita voitaisiin lukio-opetuksessa käsitellä ohjelmoinnin kautta. Matematiikan ja ohjelmoinnin yhdistämistä opetuksessa on tutkittu jo entuudestaankin paljon. Tähän liittyen usein puhutaan laskennallisen ajattelun käsitteestä. Laskennalliseen ajatteluun sisältyy valikoima erilaisia ajatuksellisia työkaluja, joiden avulla ongelmia voidaan ratkaista ja jäsentää. Laskennallisen ajattelun taidoista on todettu olevan hyötyä monella osa-alueella, esimerkiksi matematiikassa. Yksi luontainen tapa laskennallisen ajattelun kehittämiseen on ohjelmointi. Toisaalta puolestaan tietojenkäsittelytieteen juuret ovat matematiikassa, joten näillä kahdella tieteenalalla on paljon yhteistä. Myös kontekstilähtöisen opettamisen on huomattu parantavan opiskelijoiden motivaatiota, oppimistuloksia sekä ymmärrystä tieteen yhteydestä arkeen ja ympäröivään maailmaan. Yksi lukuteorian tärkeitä sovelluskohteita on erilaiset kryptografian salausmenetelmät, joten ohjelmointi tarjoaa myös mahdollisuuksia tuoda kontekstuaalisuutta ja relevanssia osaksi lukuteorian opetusta. Sekä laskennallisen ajattelun että kontekstilähtöisen opettamisen haasteiksi on koettu konkreettisten välineiden ja menetelmien puute. Tämän tutkielman tarkoitus on vastata näihin haasteisiin esittelemällä joitakin mahdollisia tapoja lukuteorian ja ohjelmoinnin yhdistämiseen ikään kuin pedagogisena tuotteena. Laaditut ohjelmalliset tehtävät tarjoavat toisaalta matalan kynnyksen lähteä tutkimaan lukuteorian aiheita, mutta myös haastavat kartuttamaan syvempää ymmärrystä pohdinnan ja lisätehtävien kautta. Tutkielmassa esitellään myös lukuteorian keskeistä matemaattista perustaa niin lukion opetussuunnitelmaan sisältyviltä osin, kuin sen ulkopuoleltakin. Pelkästään lukion opetussuunnitelman lukuteoriaan liittyvien sisältöjen puitteissa mahdollisia ohjelmallisia tehtäviä tai käsiteltäviä aihealueita on paljon, ja tämä tutkielma laajuudessaan pystyy vasta raapaisemaan pintaa kaikkien mahdollisuuksien suhteen. Ohjelmallisten harjoitteiden ja ohjelmointia ja lukuteoriaa yhdistelevien tehtävien osalta tutkielma antaa kuitenkin jo ideoita ja luo pohjaa näitä menetelmiä arvioivalle tai kehittävälle jatkotutkimukselle, sillä tämän tutkielman osalta niitä käsiteltiin vasta teoreettisella tasolla.

Tässä työssä vertaillaan kolmea oppikirjaa (SanomaPron Moodi, Otavan Juuri sekä Editan Kaari) MAA11 moduulille (LOPS 2019). Työssä esitellään lukion opetussuunnitelman mukaiset tärkeät sisällöt moduulille ja tutkitaan voiko opiskelija oppia moduulin aiheet oppikirjojen avulla. Oppikirjojen teoriaosuuksia ja tehtäviä sekä digikirjojen erilaisia ominaisuuksia vertaillaan. Teoriaosuuksien tarkastelussa kiinnitetään huomiota siihen, että millaisia eroja esimerkkien välillä on ja kuinka paljon oppikirjat käyvät läpi opetussuunnitelmaan kuulumattomia aiheita, mutta jotka kuuluvat samoihin aihepiireihin kuten esimerkiksi Diofantoksen yhtälö. Näiden lisäksi tutkitaan, kuinka paljon todistamista kirjoissa on erilaisille lauseille ja määritelmille, sekä oppikirjojen tekijöiden laatimia aikatauluehdotuksia. Tehtävien tarkasteluun ja vertailuun on hyödynnetty Bloomin taksonomiaa, jonka teoriaosuus esitellään työssä. Ohjelmointitehtävissä Kaaren ja Juuren digikirjoihin on upotettu tehtäviin Python-ohjelmointiympäristö, jota ei Moodista löydy ollenkaan. Työssä ei huomattu suuria eroja oppikirjojen välillä. Tehtävät, aiheet ja esimerkit muistuttivat kovasti toisiaan tai olivat suoraan samoja, mutta vain eri kirjoitusasulla. Suurin ero kirjojen välillä oli aikatauluehdotuksissa ja siinä, kuinka monta kappaletta eri aihealueisiin on varattu. Moodi painotti kolmesta oppikirjasta eniten algoritmeja ja ohjelmointia ja Juuri painotti eniten lukuteoriaa. Lukion opetussuunnitelmaa ajatellen Kaari oli ainoa kirjoista, joka sisälsi tehtäviä, joissa aritmetiikan peruslausetta täytyi käyttää. Kahdessa muussa tällaista tehtävää ei ollut.

Tämän tutkielman tavoitteena on selvittää, mitkä ovat kokelaiden yleisimmin tehdyt virheet vuosien 2020–2022 matematiikan ylioppilaskokeiden derivaatan ääriarvosovellustehtävissä. Koska tutkittavat derivaatan ääriarvosovellustehtävät on esitetty sanallisessa muodossa, tutkitaan lisäksi, kuinka moni kokelas on ratkaisussaan muodostanut tilannetta kuvaavan funktion. Derivaattaa käsitellään lukiossa sekä pitkässä että lyhyessä matematiikassa. Ääriarvosovellukset ovat derivaatan keskeisimpiä sovelluksia lukiomatematiikassa. Tutkielman teoriaosassa käydään aluksi läpi lukioon viimeisimpien vuosien aikana kohdistuneista muutoksista opetussuunnitelmien ja ylioppilastutkinnon rakennemuutokset. Lisäksi tutustutaan matematiikan ylioppilaskokeen rakenteeseen sekä muutosten vaikutuksista matematiikan ylioppilaskokeeseen, kuten laskinohjelmistojen saatavuuteen sekä tehtävien maksimipistemäärään. Seuraavaksi käsitellään matemaattisia virheitä sekä matematiikan soveltamista. Ensimmäisenä perehdytään käsitteisiin virhe ja virhekäsitys, jonka jälkeen käsitellään soveltavia tehtäviä, ongelmanratkaisua, sanallisia tehtäviä, luetunymmärtämistä sekä kielentämistä matematiikan näkökulmasta. Edellä kuvattuihin aiheisiin on hyvä tutustua ennen tutkimusta sekä tiedostaa matemaattisen ajattelun ja ilmaisun merkitysten tärkeys, sillä tutkittavien derivaatan ääriarvosovellustehtävien tehtävänannot on annettu sanallisessa muodossa sekä ovat pääosin arkielämän sovelluksia. Teoriaosan lopussa tutustutaan matemaattisen tiedon luonteeseen, derivaatan ymmärtämisen edellytyksiin sekä aiempiin tutkimustuloksiin derivaatan ja sen soveltamisen osaamisesta. Tutkimus toteutetaan aineistolähtöisenä sisällönanalyysinä, jossa käsitellään kuutta vuosina 2020–2022 matematiikan ylioppilaskokeissa ollutta derivaatan ääriarvosovellustehtävää. Sekä pitkästä että lyhyestä matematiikasta tarkastelussa on kolme tehtävää, joista kunkin tehtävän osalta tutkitaan sataa kokelasratkaisua. Kokelasratkaisuista analysoidaan niissä ilmenevät virheet, lasketaan niiden määrät sekä luokitellaan tutkimuksen aikana muodostuviin virheluokkiin. Koska tehtävät käsittelevät monipuolisesti myös matematiikan muita aihepiirejä, kuten geometriaa ja integraalilaskentaa, ne rajataan lopuksi joko yleisiin matemaattisiin virheisiin tai derivaattaa ja sen soveltamista koskeviin virheisiin. Tällä tehtäväkohtaisista tuloksista rajataan tutkimuksen kannalta olennaiset tulokset tarkempaa analysointia ja pohdintaa varten. Lopuksi tarkastellaan tutkimustulosten luotettavuutta esimerkiksi aineiston ja tutkimustavan näkökulmista, sekä pohditaan tulosten yhteyttä aiempiin tutkimustuloksiin. Yleisimpänä virheenä kokelasratkaisuissa ilmenee ratkaisutapa, jossa kokelas valitsee muuttujalle satunnaisia arvoja ja kokeilee, millä arvolla saadaan halutunlainen tulos. Matematiikan yleisellä tasolla yleisimpiä virheitä ovat vastauksen antaminen eri tarkkuudella kuin lähtötiedot, omat oletukset tilanteesta, puutteellinen matemaattinen ilmaisu sekä yksiköiden epäsäännöllinen käyttö ratkaisun aikana, niiden puuttuminen tai lisääminen vastukseen. Derivaatan ja sen soveltamisen osalta yleisimpiä virheitä muuttujalle satunnaisesti valittujen arvojen lisäksi ovat väärän funktion derivointi, vastaaminen eri asiaan mitä kysytään sekä derivointivirhe käsin derivoitaessa. Havaitut tulokset ovat pääosin linjassa aiempien tutkimustulosten kanssa. Myös tässä tutkimuksessa havaittiin, että mekaaniset laskut hallitaan, mutta kokonaisuuden hahmottaminen ja derivaatan soveltaminen annettuun tilanteeseen ovat hankalia.

Oppikirjalla on perinteisesti ollut suuri merkitys suomalaisessa kouluopetuksessa. Vaikka sähköiset oppimateriaalit ovatkin vähitellen yleistyneet, painettu oppikirja näyttää pitävän pintansa niin opiskelijan kuin opettajankin tärkeimpänä työvälineenä ja tiedonlähteenä koulussa. Koska oppikirjoilla on lukuisia tavoitteellisen oppimisen ja opettamisen kannalta olennaisia tehtäviä, ei ole yhdentekevää, mitä niissä kerrotaan ja miten asioita esitetään. Terveyden ja hyvinvoinnin aihepiirissä haasteita asettavat muun muassa terveyden moniulotteisuus ja -tulkintaisuus sekä siihen liittyvät arvokasvatukselliset tavoitteet. Asian tärkeydestä huolimatta oppikirjojen sisältöjä on tutkittu verrattain vähän. Terveyteen ja hyvinvointiin liittyvälle osaamiselle on kuitenkin suurta tarvetta sekä koulumaailmassa ja lukio-opetuksessa kuin laajemmin koko yhteiskunnassa. Tässä tutkimuksessa tarkasteltiin, miten terveyttä ja hyvinvointia kuvataan lukion maantieteen oppikirjoissa ja vastaavatko nämä kuvaukset maantieteen opetussuunnitelmien edellytyksiä. Tutkimus suoritettiin tapaustutkimuksena ja aineistona käytettiin GEOS1- ja GEOS3-oppikirjoja sekä Manner 1 - ja Manner 3 -oppikirjoja. Niistä tarkasteltiin kuvia ja tekstejä teorialähtöisen sisällönanalyysin avulla. Tekstianalyyseja varten muodostettiin analyysikehikko, johon terveyttä ja hyvinvointia koskevat lausumat sijoitettiin ja tallennettiin. Kehikko rakentui terveyden ja hyvinvoinnin tyypillisistä ulottuuvuuksista, tasoista ja näkökulmista. Kuvia varten laadittiin luokitus, joka rakentui sellaisista terveyteen ja hyvinvointiin liittyvistä ominaisuuksista, jotka on mahdollista tunnistaa kuvista. Näitä olivat esimerkiksi kuvissa esiintyvien henkilöiden ikä ja sukupuoli sekä kuvan näkökulma terveyteen. Teksti- ja kuva-analyysien avulla saatiin selville, että oppikirjat poikkeavat toisistaan terveyden ja hyvinvoinnin tulkinnoiltaan.Esimerkiksi tekstit ovat kaikissa tarkastelluissa oppikirjoissa pääosin terveyslähtöisiä eli voimavaroja ja mahdollisuuksia korostavia, mutta joissakin oppikirjoissa on suhteessa enemmän sairauslähtöisiä, terveyden ja hyvinvoinnin ongelmia ja uhkia kuvaavia tekstejä kuin toisissa. Oppikirjoissa kuvataan myös eri suhteissa väestön terveyteen ja hyvinvointiin vaikuttavia tekijöitä ja terveyden osa-alueita. Niissä korostuvat enimmäkseen väestön terveyteen globaalilla tasolla vaikuttavat tekijät, kun yksilöön liittyviä tekijöitä kuvataan varsin vähän. Tekstianalyysien perusteella monipuolisimmin terveyttä ja hyvinvointia kuvattiin GEOS-oppikirjasarjan oppikirjoissa. Analyysien perusteella oppikirjat myös vastasivat pääosin opetussuunnitelman edellytyksiä: niiden avulla on mahdollista havainnoida, analysoida, arvioida ja ymmärtää terveyteen ja hyvinvointiin liittyviä ilmiöitä ja ongelmia paikallisesti, alueellisesti ja globaalilla tasolla. Terveyslähtöinen näkökulma auttaa löytämään ongelmien ratkaisumahdollisuuksia ja voi kannustaa toimimaan aktiivisesti hyvinvoinnin edistämiseksi. Parhaiten opetussuunnitelman tavoitteet voidaan saavuttaa GEOS3-oppikirjan avulla. Kuva-analyysien avulla saatiin selville muun muassa, että kaikki oppikirjat olivat sukupuolittavia ja kuvasivat enimmäkseen aikuisia esimerkiksi nuorten sijaan. Monipuolisimmin eli runsailla kuvilla, sekä positiivisesta että negatiivisesta näkökulmasta, kaikenikäisten miesten ja naisten ominaisuutena terveyttä ja hyvinvointia kuvattiin GEOS1-oppikirjassa. Oppikirjat erosivat kuitenkin toisistaan myös siinä, miten opetussuunnitelman tavoitteet niissä toteutuivat. Tasa-arvon ja yhdenvertaisuuden sekä myönteisen kehityksen ja mahdollisuuksien tavoitteet toteutuivat parhaiten molemmissa GEOS-oppikirjasarjan oppikirjoissa ja heikoimmin Manner-oppikirjasarjan oppikirjoissa. Kun tutkimuksen luotettavuuteen vaikuttavat seikat huomioidaan, tällä tutkimuksella saatiin uutta ja ainakin osin käyttökelpoista tietoa terveyden ja hyvinvoinnin kuvauksista maantieteen oppikirjoissa. Näin tutkimuksen avulla saatua tietoa voidaan jossain määrin hyödyntää maantieteen oppimateriaalien laadinnassa ja niiden laadun parantamisessa.