Browsing by Subject "lukuteoria"

Työn alussa perehdytään lukuteorian merkitykseen sekä sen paikkaan Suomen koulujärjestelmässä. Opetuspaketin motivointina toimivat artikkelit ja tutkimukset lukuteorian opiskelemisen merkityksestä matemaattiselle ajattelemiselle. Motivointia lisäävät myös lukuteorian, salausjärjestelmien ja ohjelmoinnin välillä havaitut laaja-alaiset ja toisiaan täydentävät yhteydet. RSA-salausjärjestelmässä esiintyvät monet lukuteorian käsitteet, joita voidaan käsitellä ohjelmallisesti. Näiden syiden takia tämän työn aiheena on RSA-salausjärjestelmän avulla lukuteoriaan syventävä opetuspaketti. Opetuspaketti on tarkoitettu lukion pitkän matematiikan opiskelijalle, joka on entuudestaan opiskellut vuoden 2019 lukion opetussuunnitelman moduulin MAA11 Algoritmit ja lukuteoria. Opetuspaketti kertaa ja syventää moduulissa MAA11 opittuja lukuteorian käsitteitä sekä esittelee uusina Eulerin φ-funktion (Eulerin phi-funktio), Eulerin teoreeman ja RSA-salausjärjestelmän. Opetuspakettiin kuuluvat teorian ja määritelmien lisäksi monet esimerkit, harjoitustehtävät, (Python-)ohjelmointitehtävät sekä esimerkkiratkaisut. Opetuspaketin tavoitteena on herättää opiskelijan mielenkiintoa lukuteoriaa ja ohjelmointia kohtaan RSA-salausjärjestelmän avulla. Lisäksi opetuspaketin tarkoituksena on laajentaa opiskelijoiden lukuteorian osaamista, syventää yleistä matemaattista ymmärtämistä sekä parantaa ohjelmoinnin taitoja.

Tutkielman tarkoituksena on perehdyttää lukija primitiivisten juurten ja neliönjäännösten teoriaan, minkä lisäksi esitellään niiden joitakin perusominaisuuksia. Primitiiviset juuret ja neliönjäännökset ovat osa matemaattisenlukuteorian alaa. Tutkielman alkuun esitellään Eulerin phi-funktio ja määritellään kokonaisluvun kertaluku, joita tarvitaan primitiivisten juurten määrittämisessä. Vuonna 1773 Euler antoi ensimmäisen todistuksensa sille, että jokaiselle alkuluvulle on olemassa primitiivisiä juuria, ja myöhemmin Legendre korjaili tässä todistuksessa ilmenneitä epäkohtia. Vuonna 1801 Gauss puolestaan otti suuren edistysaskeleen primitiivisten juurten perusteoriassa, kun hän onnistui osoittamaan kaikki ne luvut, joille on olemassa primitiivisiä juuria ja todistamaan, että nämä luvut ovat ainoat, joilla niitä on olemassa. Primitiivisten juurten sovelluskohteista perehdytään tässä tutkielmassa tarkemmin desimaaliekspansioon. Tutkielman neljännessä luvussa esitellään desimaaliekspansion määritelmä, minkä jälkeen tutkitaan rationaalilukujen päättymistä. Tämän jälkeen selvitetään primitiivisiä juuria apuna käyttäen, kuinka pitkä on alkuluvun käänteisluvun päättymättömän desimaaliekspansion toistuva periodi. Tutkielman viides luku pitää sisällään neliönjäännöksien perusominaisuuksia. Luvussa annetaan Eulerin kriteerille kaksi erilaista esitysmuotoa: ensimmäinen Legendren symbolilla ja toinen ilman. Tämä lause on neliönjäännösten resiprookkilain kannalta erittäin merkittävä ja tässä tutkielmassa sille esitetään myös kaksi todistusta, joista toisessa käytetään apuna primitiivisiä juuria. Vielä ennen neliönjäännösten resiprookkilakia esitellään Gaussin lemma, jota sovelletaan resiprookkilain todistuksessa. Viimeisessä luvussa pohditaan, kuinka primitiivisten juurten ja neliönjäännösten opetus soveltuu lukion matematiikan kursseille. Lukiossa on tällä hetkellä olemassa pitkän matematiikan kurssi, jossa tutustutaan lukuteoriaan. Tämä kurssi tulee uudistumaan merkittävästi uuden lukion opetussuunnitelman myötä vuonna 2021, minkä seurauksena tämän tutkielman aihealueet ovat paremmin sisällytettävissä siihen. Tulevia tutkimuksia varten olisi mielenkiintoista selvittää, kuinka vanhan opetussuunnitelman kurssin käsiteltävät aiheet ja vaikeustaso tulevat muuttumaan algoritmien ja ohjelmoinnin myötä.

Työn tarkoitus on kartoittaa verkkopedagogiikan kasvatustieteellisen tutkimuksen keskeisiä alueita ja teoreettista taustaa ja mitä piirteitä laadukkaalla verkkopedagogiikalla ja hyvällä verkkokurssilla on. Työn soveltavana osuutena on lukuteorian teoriaa ja lukuteoriaan liittyviä tehtäviä, jotka on tarkoitettu Lukuteoriaa lukiolaisille -verkkokurssille, jonka sisältö on vuoden 2019 lukion opetussuunnitelman moduulin MAA11 Algoritmit ja lukuteoria mukainen. Opiskelijat toteuttavat tehtävät Python -ohjelmointikielellä. Verkkokursseja voi luokitella muun muassa verkko-opetuksen suhteellisen osuuden, ajoittumisen, avoimuuden ja sen mukaan kuinka paljon kursseilla on yhteistyötä ja yhteisöllisyyttä. Lähes kaikki oppilaitoksien kurssit ovat sekamuotoisia eli sisältävät sekä verkko että lähiopetusta. Verkko-opetus joustavoittaa ja yksilöllistää koulutusta ihmisten ja myös yhteiskunnan tarpeisiin mukautuen. Viimeaikaisen meta-analyysin mukaan lähiopetusta voi vähentää huomattavasti ja silti saada samat tai paremmat oppimistulokset kuin pelkällä lähiopetuksella. Erityisesti tämä tulos pätee luonnontieteiden opetukseen. Vertailtaessa verkkokursseja suhteessa toisiinsa on eroteltu kolme laadukkaan verkko-opetuksen keskeistä piirrettä: suunnittelu, arviointi ja fasilitointi. Suunnittelussa tärkeää oli selkeän oppimispolun ja tarkoituksen tunteen luonti opiskelijoille. Kurssin suunnitelleen ryhmän työn laatua voi arvioida ulkopuoliset asiantuntijat. Fasilitoinnissa tärkeää oli mm. opettajan läsnäolo ja nopea reagointi opiskelijoiden yhteydenottoihin. MOOC-kurssien opiskelijapalautetta arvioitaessa on havaittu, että matemaattisilla ja tietoa käsittelevillä aloilla opettajan ja luennointitaidon merkitys on suurempi kuin muilla aloilla. Verkkopedagogiikan teoreettisesta taustasta löytyy kolme konstruktivistista tutkimustraditiota: tutkiva yhteisö -kehys, käänteinen oppiminen ja tietokoneavusteinen yhteisöllinen oppiminen (CSCL). Konstruktivismissa oppimisen ajatellaan olevan tiedon ja merkitysten rakentumista oppilaan mielessä ja oppimisyhteisön olevan tälle prosessille tärkeä. Keskeinen ongelma ja samalla mahdollisuus on oppimisyhteisön luominen verkkoympäristössä. Tutkiva yhteisö -kehyksen mukaan oppimiselle tärkeitä elementtejä ovat sosiaalinen läsnäolo yhteisössä, opettamisen läsnäolo ja kognitiivinen läsnäolo. Laajojen tähän malliin perustuvien kyselytutkimusten tulokset viittaavat siihen, että sosiaalisen läsnäolon elementin merkitys tiedon rakentumiselle on välillinen, ei suora. Sitävastoin intensiivisemmällä kahden välisellä kommunikaatiolla oli selkeä suora merkitys oppimisen kannalta oli kyse vertaisesta tai opettajasta. Sosiaalista läsnäolon elementtiä voisi siis pitää motivoivana tekijänä ei suoraan tiedon rakentumiseen eli oppimiseen vaikuttavana. Käänteisen oppimisen perusajatus on yhteisen “luokkahuoneajan”, joka voi tapahtua joko verkossa tai kasvokkain, käyttäminen ongelmien ratkaisuun ja käsitteiden selventämiseen, ei tiedon välittämiseen. Käänteisessä oppimisessa painopiste on siirtynyt oppijan oikea-aikaiseen tukemiseen lähikehityksen vyöhykkeellä. Tavoitteena on oppija joka on oppinut oppimaan yksilöllisesti ja itsenäisesti. Suomessa tavoitteena on kaikkien kouluttaminen ja käänteisen oppimisen lähestymistapa sopii tähän hyvin. Meta-analyysissä käänteisellä oppimisella on ollut myönteinen vaikutus oppimistuloksiin. Verkkopedagogiikan tutkimustraditiot muistuttavat puunhaaroja, joista jotkut kuihtuvat ja toiset kasvavat nopeammin. Tyypillistä on, että samoja 20-30 vuotta sitten esitettyjä ajatuksia esitetään uudestaan kaikesta tutkimuksesta ja kritiikistä ja kehitysehdotuksista huolimatta. Traditiot ovat kuitenkin tiukan empiirisiä ja oletetettavasti opetuksessa käyttökelpoisimmat haarat tulevat kasvamaan parhaiten. Mielenkiintoisia tutkimusalueita mielestäni ovat arvioinnin ja kilpailun vaikutus yhteistyöhön ja luova, tuloksia tuottava ja osanottajista miellyttävä yhteistyö. Lukuteorian materiaalien suunnittelussa olen pyrkinyt lähtemään opiskelijoille tutuista laskusäännöistä, joiden avulla laajemmat kokonaisuudet kuten Eukleideen algoritmi tulisivat ymmärrettäviksi. Päämääränä on, että he itse pystyisivät toistamaan lukuteorian rakenteita ymmärtäen ne aikaisempaan tietoon ja intuitioon perustuen