Browsing by Subject "lyhdeteoria"

Sileät monistot laajentavat matemaattisen analyysin keinoja euklidisista avaruuksista yleisemmille topologisille avaruuksille. De Rhamin lause lisää tähän vielä yhteyden algebralliseen topologiaan näyttämällä, että tietyt monistojen topologiset invariantit voidaan karakterisoida joko analyysin tai topologian keinoin. Toisin sanottuna moniston analyyttiset ominaisuudet paljastavat jotain sen topologisista ominaisuuksista ja päinvastoin. Tässä gradussa esitetään De Rhamin lauseelle kaksi todistusta. Ensimmäinen niistä todistaa lauseen sen klassisessa muodossa, joka vaatii vain monistojen ja singulaarihomologian perusteorian ymmärtämisen. Toinen todistus on muotoiltu hyvin yleisesti lyhteiden avulla; tarvittava lyhteiden teoria esitellään lähes kokonaan tekstissä. Tämä rakenne jakaa tekstin luontevasti kahtia. Ensimmäisessä osassa kerrataan ensin lyhyesti de Rhamin kohomologian ja singulaarihomologian perusteet. Seuraavaksi esitellään singulaarikohomologia sekä ketjujen integrointi monistoilla, jotka johtavat klassisen de Rhamin lauseen todistukseen. Toisessa osassa tutustutaan aluksi esilyhteiden ja lyhteiden teoriaan. Sitten esitellään lyhdekoho- mologiateoriat ja niiden yhteys ensimmäisen osan kohomologiaryhmiin. Lopulta näytetään, että kaikki lyhdekohomologiateoriat ovat yksikäsitteisesti isomorfisia keskenään. De Rhamin kohomologian ja singulaarikohomologian tapauksessa tälle isomorfismille annetaan lisäksi suoraviivainen konstruktio.