Browsing by Subject "pallolause"

Työssä esitellään todistuksineen klassinen pallolause, joka antaa leikkauskaarevuksien avulla riittävän ehdon kompaktin, yhdesti yhtenäisen Riemannin moniston homeomorfisuudelle euklidisen pallon kanssa. Todistus seuraa klassista Klingenbergin ja Bergerin todistusta, ja siinä merkittävä rooli on leikkauspisteillä - pisteillä, joiden jälkeen annetusta pisteestä lähtevät geodeesit eivät enää minimoi etäisyyksiä - ja moniston injektiivisyyssäteellä, joka on infimum moniston pisteiden ja niitä vastaavien leikkauspisteitten etäisyyksistä. Työssä esitellään tarvittavia Riemannin monistojen perusominaisuuksia, kuten metriikka, konnektiot ja kaarevuus, ja -tuloksia, esimerkiksi Rauchin vertailulause sekä Bonnet-Myersin lause. Pallolauseen ohella merkittäviä tuloksia työssä ovat Klingenbergin arvio moniston injektiivisyyssäteelle sekä Bergerin tulos minimoivien geodeesien jakautumisesta kompaktin moniston ääripisteiden välillä. Edellä mainitun tuloksen todistukseksi esitellään myös tarvittava määrä Morsen teoriaa, joka tutkii funktioiden kriittisten pisteiden vaikutusta määrittelyjoukkonsa topologiaan.