Browsing by Subject "pseudodifferentiaalioperaattorit"

Pseudodifferentiaalioperaattoreiden tutkimus nousi 1960-luvulla singulaaristen integraalioperaattoreiden tutkimuksesta. Vaikka esimerkiksi sellaiset tunnetut tulokset kuin Atiyah-Singerin indeksilause ja Alberto Calderónin todistama osittaisdifferentiaaliyhtälöiden Cauchy-ongelman yksikäsitteisyys käyttivät hyväkseen menetelmiä, joiden nykyään katsotaan kuuluvan pseudodifferentiaalioperaattoreiden alaan, termiä pseudodifferentiaalioperaattorit ryhdyttiin käyttämään vasta Lars Hörmanderin, Louis Nirenbergin ja Joseph J. Kohnin myötä vuodesta 1968 eteenpäin. Pseudodifferentialaioperaattoreiden tutkimuksessa erityisen mielenkiinnon kohteena on operaattorin muodostava symboli. Toisin kuin tavallisissa differentiaaliyhtälöissä, pseudodifferentiaalioperaattorin symboli on jokin yleinen funktio. Tässä työssä käsitellään pseudodifferentiaalioperaattoreita, joiden symbolit kuuluvat symboliluokkaan S^m, joka tarkoittaa sellaisia äärettömän monta kertaa derivoituvia jatkuvia funktioita, jota ovat rajoitettuja korkeintaan astetta m olevalla polynomilla. Ennen aiheen varsinaista käsittelyä määrittelemme luvussa kaksi Schwartzin avaruuden, temperoidut distribuutiot ja Sobolev-avaruuden H^s. Todistamme joitakin näiden avaruksien ominaisuuksia ja määrittelemme Fourier-muunnoksen ja käänteismuunnoksen. Kolmannessa luvussa määrittelemme pseudodifferentiaalioperaattoreiden symboliluokat astetta m ja astetta negatiivinen ääretön ja todistamme, että symbolien derivointi ja kertominen keskenään tuottavat symboleita. Lisäksi todistamme, että symboleille on olemassa asymptoottinen kehitelmä. Luvussa neljä käytämme hieman aikaa oskilloivien integraalien määrittelyyn ja todistamme, että tällaiset integraalit ovat rajoitettuja. Tämän jälkeen määrittelemme pseudodifferentiaalioperaattorit luvussa viisi käyttämällä edellisten lukujen tuloksia. Todistamme, että pseudodifferentiaalioperaattorit, joiden symbolit ovat edellämainituissa symboliluokissa, ovat jatkuvia kuvauksia Schwartzin avaruuden alkioille ja temperoiduille distribuutioille. Luvussa kuusi todistamme, että pseudodifferentiaalioperaatorilla on L^2-adjungaatti ja todistamme, että kahden operaattorin tulo on hyvin määritelty. Todistamme myös, että pseudodifferentiaalioperaattori on jatkuva kuvaus avaruudessa L^2 ja Sobolev-avaruuksissa. Lopuksi luvussa 7 esittelemme elliptiset pseudodifferentiaalioperaattorit ja todistamme, että tällaisten operaattoreiden käänteisoperaattori on löydettävissä modulo silotusoperaattorit parametriksien avulla.