Browsing by Subject "ryhmien kasvu"

Tutkielman päämääränä on esitellä ja todistaa Milnorin lause (John Milnor, 1968) geometrisen ryhmäteorian alalta. Milnorin lause on olennainen osa äärellisesti viritettyjen ratkeavien ryhmien kasvun luokittelua. Se kertoo, että äärellisesti viritetyt ratkeavat ryhmät joko kasvavat eksponentiaalisesti tai ovat polysyklisiä. Polysyklisten ryhmien kasvun tiedetään olevan joko polynomista tai eksponentiaalista. Näin ollen äärellisesti viritetyt ratkeavat ryhmät kasvavat joko polynomisesti tai eksponentiaalisesti. Tutkielman ensimmäinen luku on johdantoa ja toinen luku on esitietoja. Tutkielman kolmannessa luvussa esitellään ryhmät ja aakkostot. Erityisesti esitellään, mitä tarkoittaa ajatella ryhmän alkioita jonkin aakkoston sanoina. Lisäksi määritellään vapaat ryhmät ja ryhmien esitykset. Tämän jälkeen neljännessä luvussa ryhmiin määritellään ryhmän Cayley graafin avulla sanametriikaksi kutsuttu metriikka. Todistetaan, että eri virittäjäjoukkojen suhteen muodostetut sanametriikat ovat keskenään bilipschitzekvivalentit. Lopulta määritellään ryhmien kasvu ja todistetaan, että ryhmän kasvu ei riipu valitusta virittäjäjoukosta. Viidennessä luvussa esitellään ratkeavat ryhmät, nilpotentit ryhmät ja polysykliset ryhmät ja muutamia konkreettisia esimerkkejä näistä ryhmistä. Lisäksi esitellään näiden ryhmien keskeisiä ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Todistetaan esimerkiksi, että jokainen nilpotentti ja polysyklinen ryhmä on myös ratkeava ryhmä. Kuudennessa luvussa todistetaan tutkielman päätulos, Milnorin lause. Se tapahtuu induktiolla ratkeavalle ryhmälle ominaisen subnormaalin laskevan jonon pituuden suhteen. Lisäksi esitellään ja todistetaan tarvittavia aputuloksia. Luvun lopussa esitellään Wolfin lause (Joseph Wolf, 1968) ja yhdistetään Milnorin ja Wolfin lauseet yhdeksi tulokseksi, Milnor-Wolfin lauseeksi. Milnor-Wolfin lauseen nojalla äärellisesti viritettyjen ratkeavien ryhmien kasvu saadaan luokiteltua.