Browsing by Subject "virheet"
Now showing items 1-5 of 5
-
(2023)Tässä tutkielmassa tarkastellaan kielentämistä matemaattisen ajattelun työvälineenä sekä pureudutaan yleisiin virhekäsityksiin todennäköisyyslaskennassa. Lisäksi käsitellään miniteorioita näiden virhekäsitysten selittäjinä. Lopuksi on laadittu ja luokiteltu yksi tehtävä jokaista virhekäsitystä kohden. Näiden tehtävien tarkoitus on paljastaa virhekäsitys, ja antaa mahdollisuus korjata se. Kielentäminen on tärkeä osa jokaisen ammattilaisen ja erityisesti asiantuntijan ammattia. Mikäli ammattilainen ei pysty selittämään tietoaan siten että muutkin ymmärtävät sen, ei hänen laajasta osaamisestaan ole juuri hyötyä. Onkin harmi, että kielentämistä opetetaan matematiikassa oikeastaan vasta lukiotasolla. Onkin siksi tärkeää, että varsinkin lukioon laaditaan kielentämisen tehtäviä. Näin säästyy opettajien työtä ja oppijat saavat mahdollisuuden rehellisesti tutustua kielentämiseen työkaluna. Tutkielma perustuu kielentämisen, virhekäsitysten ja oppimisen luokittelun teoriaan. Kielentämisessä on kyse matemaattisen ajattelun sanoittamisesta ja oman ajattelun jäsentämisestä. Kielentämisen suhteen tutkielma nojaa Jorma Joutsenlahden työhön aiheen saralla. Virhekäsitysten selittämiseksi on tässä työssä valittu miniteoriat, joiden osalta nojataan Guy Claxtonin työhön. Oppimisen luokittelua käydään läpi alkaen Bloomin taksonomiasta ja päätyen Wilsonin taksonomian kautta Jorma Joutsenlahden laatimaan kolmiportaiseen taksonomiaan. Tämä on oleellista, sillä laaditut tehtävät on tämän jälkeen luokiteltu juuri Joutsenlahden taksonomian mukaisesti, jotta niiden käyttö olisi mahdollisimman helppoa. Virhekäsitysten korjaamiseksi laaditut tehtävät sisältävät perustelut, miksi ne voisivat toimia kyseisen virhekäsityksen korjaamiseksi. Tehtäviä on laadittu yksi jokaista virhekäsitystä kohden. Näitä virhekäsityksiä on kahdeksan kappaletta. Tutkielman perimmäinen tarkoitus onkin esittää tieteellisesti perusteltuja työkaluja virhekäsitysten korjaamiseen, tässä erityisesti kielentämisen keinoin.
-
(2023)Tässä tutkielmassa tarkastellaan, millaisia virheitä opiskelijoilla ilmenee matematiikan ylioppilaskokeissa sanallista perustelua vaativissa tehtävissä. Lisäksi pyritään löytämään keinoja, joilla esiin tulleita virheitä voitaisi ehkäistä matematiikan opetuksessa. Matematiikan ylioppilaskokeiden sähköistyttyä tehtävien sisällöt ja vaatimukset ovat muuttuneet merkittävästi soveltavammiksi. Kun opiskelijalta esimeriksi vaaditaan sanallisia perusteluja, niin voidaan havaita, ymmärtääkö opiskelija tekemiään laskuja vai toimiiko hän suoraan saatavilla olevien kaavojen ja laskinten orjana, ja tämän vuoksi aihetta on myös tärkeä tutkia. Tutkielman teoriapohja koostuu matematiikan ymmärtämisen sekä kielentämisen tarkastelusta. Matematiikan ajatusprosessin esittäminen sanallisesti vaatii matematiikan rakenteiden pohtimista sekä oman matemaattisen ajattelun jäsentämistä siten, että asian voi ilmaista selkeästi. Opetussuunnitelmassa myös korostetaan päätelmien perustelemista sekä arviointia osana matematiikan osaamista. Tutkielman aineisto koostuu vuosien 2019-2021 sähköisistä pitkän ja lyhyen matematiikan ylioppilaskokeiden kokelasratkaisuista. Tehtävät eivät keskity mihinkään tiettyyn matematiikan aihealueeseen. Tehtävät valikoituivat näin, koska sähköiset ylioppilaskokeet ovat mahdollistaneet pidempiä sanallisia vastauksia vaativia tehtäviä, jotka ovat oleellisia tämän tutkimuksen kannalta. Valittuja sanallista perustelua vaativia tehtäviä on yhteensä viisi, joista jokaisesta poimittiin 100 ratkaisua. Saadusta aineistosta nousi esiin melko erilaisia virheitä, riippuen tarkastellusta tehtävästä ja sen aihealueesta. Yleisimmät virheet liittyivät abstraktien kertoimien käsittelyyn, mistä voidaan päätellä, että opiskelijoilla on vaikeuksia käsitellä funktioita ja polynomeja ilman konkreettisia lukuja. Tämän lisäksi ratkaisut olivat melko suppeita, mikä tuotti hankaluuksia ymmärtää ratkaisijoiden ajatusprosesseja ja niiden oikeellisuutta. Virheiden korjaamiseksi tutkielmassa korostetaan sitä, että opitun soveltamista ja selittämistä sanallisesti tulisi harjoitella koko lukiomatematiikan oppimäärän ajan. Opettajan tulisi siis kiinnittää huomiota omaan opetuspuheeseensa sekä rohkaista opiskelijoita perustelemaan rohkeasti päätelmiään sanallisesti sekä ääneen oppitunneilla että kirjallisesti tehtäviä tehdessään. Tutkielmassa esitellään myös tehtävätyyppejä, joita matematiikan opetuksessa voitaisi käydä läpi, jotta opiskelijoiden perustelu- ja soveltamistaidot voisivat kehittyä paremmin, ja esiin tulleita virheitä voitaisi ehkäistä.
-
(2024)Tämän tutkielman tavoitteena on selvittää, mitkä ovat kokelaiden yleisimmin tehdyt virheet vuosien 2020–2022 matematiikan ylioppilaskokeiden derivaatan ääriarvosovellustehtävissä. Koska tutkittavat derivaatan ääriarvosovellustehtävät on esitetty sanallisessa muodossa, tutkitaan lisäksi, kuinka moni kokelas on ratkaisussaan muodostanut tilannetta kuvaavan funktion. Derivaattaa käsitellään lukiossa sekä pitkässä että lyhyessä matematiikassa. Ääriarvosovellukset ovat derivaatan keskeisimpiä sovelluksia lukiomatematiikassa. Tutkielman teoriaosassa käydään aluksi läpi lukioon viimeisimpien vuosien aikana kohdistuneista muutoksista opetussuunnitelmien ja ylioppilastutkinnon rakennemuutokset. Lisäksi tutustutaan matematiikan ylioppilaskokeen rakenteeseen sekä muutosten vaikutuksista matematiikan ylioppilaskokeeseen, kuten laskinohjelmistojen saatavuuteen sekä tehtävien maksimipistemäärään. Seuraavaksi käsitellään matemaattisia virheitä sekä matematiikan soveltamista. Ensimmäisenä perehdytään käsitteisiin virhe ja virhekäsitys, jonka jälkeen käsitellään soveltavia tehtäviä, ongelmanratkaisua, sanallisia tehtäviä, luetunymmärtämistä sekä kielentämistä matematiikan näkökulmasta. Edellä kuvattuihin aiheisiin on hyvä tutustua ennen tutkimusta sekä tiedostaa matemaattisen ajattelun ja ilmaisun merkitysten tärkeys, sillä tutkittavien derivaatan ääriarvosovellustehtävien tehtävänannot on annettu sanallisessa muodossa sekä ovat pääosin arkielämän sovelluksia. Teoriaosan lopussa tutustutaan matemaattisen tiedon luonteeseen, derivaatan ymmärtämisen edellytyksiin sekä aiempiin tutkimustuloksiin derivaatan ja sen soveltamisen osaamisesta. Tutkimus toteutetaan aineistolähtöisenä sisällönanalyysinä, jossa käsitellään kuutta vuosina 2020–2022 matematiikan ylioppilaskokeissa ollutta derivaatan ääriarvosovellustehtävää. Sekä pitkästä että lyhyestä matematiikasta tarkastelussa on kolme tehtävää, joista kunkin tehtävän osalta tutkitaan sataa kokelasratkaisua. Kokelasratkaisuista analysoidaan niissä ilmenevät virheet, lasketaan niiden määrät sekä luokitellaan tutkimuksen aikana muodostuviin virheluokkiin. Koska tehtävät käsittelevät monipuolisesti myös matematiikan muita aihepiirejä, kuten geometriaa ja integraalilaskentaa, ne rajataan lopuksi joko yleisiin matemaattisiin virheisiin tai derivaattaa ja sen soveltamista koskeviin virheisiin. Tällä tehtäväkohtaisista tuloksista rajataan tutkimuksen kannalta olennaiset tulokset tarkempaa analysointia ja pohdintaa varten. Lopuksi tarkastellaan tutkimustulosten luotettavuutta esimerkiksi aineiston ja tutkimustavan näkökulmista, sekä pohditaan tulosten yhteyttä aiempiin tutkimustuloksiin. Yleisimpänä virheenä kokelasratkaisuissa ilmenee ratkaisutapa, jossa kokelas valitsee muuttujalle satunnaisia arvoja ja kokeilee, millä arvolla saadaan halutunlainen tulos. Matematiikan yleisellä tasolla yleisimpiä virheitä ovat vastauksen antaminen eri tarkkuudella kuin lähtötiedot, omat oletukset tilanteesta, puutteellinen matemaattinen ilmaisu sekä yksiköiden epäsäännöllinen käyttö ratkaisun aikana, niiden puuttuminen tai lisääminen vastukseen. Derivaatan ja sen soveltamisen osalta yleisimpiä virheitä muuttujalle satunnaisesti valittujen arvojen lisäksi ovat väärän funktion derivointi, vastaaminen eri asiaan mitä kysytään sekä derivointivirhe käsin derivoitaessa. Havaitut tulokset ovat pääosin linjassa aiempien tutkimustulosten kanssa. Myös tässä tutkimuksessa havaittiin, että mekaaniset laskut hallitaan, mutta kokonaisuuden hahmottaminen ja derivaatan soveltaminen annettuun tilanteeseen ovat hankalia.
-
(2024)Tämän tutkielman tavoitteena oli selvittää, millaisia virhekäsityksiä lukion pitkän matematiikan opiskelijoilla on funktion derivoituvuudesta ja jatkuvuudesta. Aihetta tutkittiin ylioppilaskoetehtävien ratkaisuista. Tutkielmaan valittiin neljä koetehtävää vuosilta 2020–2022, jotka käsittelivät derivaattaa sekä pisteessä derivoituvuutta ja jatkuvuutta. Tutkielma kuvailee tehtävissä esiintyneitä virhekäsityksiä sekä pohtii mahdollisia syitä virhekäsityksien muodostumiselle. Virhekäsitysten taustalla voi olla heikko konseptuaalinen ymmärrys. Kun opiskelijalla on huono konseptuaalinen ymmärrys, saattaa hänen osaamisensa perustua vain ulkoa opittuihin prosesseihin. Jos opiskelijan osaaminen perustuu vain muistiin, virheitä syntyy helposti, ja opiskelijan on hankala havaita niitä itse. Myös oikeiden sääntöjen yleistäminen uusiin tilanteisiin on useiden virheiden taustalla. Tutkielman teoreettisessa taustassa määritellään, mitä virhekäsityksellä tarkoitetaan. Virhekäsitysten syitä tarkastellaan proseduraalisen ja konseptuaalisen ymmärryksen, representaatioiden ja opiskelijan käsitekuvan näkökulmasta. Tutkielman teoreettisessa pohjassa esitellään lisäksi aikaisempia tutkimuksia aiheesta. Tutkielmassa käytetty aineisto koostui Ylioppilaslautakunnan kokoamasta korpusaineistosta, joka sisältää kokelasratkaisuja ja pistetilastoja vuosien 2019–2020 ylioppilaskokeista. Tämän tutkielman käyttöön saatiin korpusaineistosta 100 koeratkaisua jokaiseen tutkielmaan valittuun neljään koetehtävään. Ratkaisut analysoitiin aineistolähtöisellä sisällönanalyysillä, jossa aineistosta etsittiin opiskelijoiden tekemät virheet. Opiskelijoiden virheistä haettiin yhtäläisyyksiä, joiden perusteella mahdolliset virhekäsitykset luokiteltiin. Tutkielmassa yleisin virhe jatkuvuuden osoittamisessa oli, että opiskelijat tutkivat vain raja-arvon olemassaoloa. Virhe voi syntyä, jos opiskelijat käsittelevät raja-arvoa vain sijoituksena, jolloin raja-arvo vastaa funktion arvoa, mistä seuraa, että funktion arvo jätetään tarkastamatta. Erotusosamäärän raja-arvoa laskettaessa suora sijoitus johti opiskelijoita tuloksiin, joissa derivoituva funktio on derivoitumaton. Lisäksi tutkielmassa havaittiin, että osalla opiskelijoista on virhekäsitys, jossa funktio ei ole derivoituva, jos funktion derivaatta on nolla. Osa opiskelijoista uskoi, että funktion jatkuvuudesta seuraisi funktion derivoituvuus, kun taas osa opiskelijoista väitti epäjatkuvaa funktiota derivoituvaksi. Monet tutkielmassa löydetyt virhekäsitykset esiintyivät myös aikaisemmissa tutkimuksissa. Tutkimustulosten pohjalta opettajien on mahdollista kehittää omaa opetustaan. Kun opettaja tuntee opiskelijoiden yleisimpiä virhekäsityksiä, hän tunnistaa ne nopeammin ja pystyy tarjoamaan tukea näiden korjaamiseen. Virhekäsitykset voivat vaikuttaa uuden tiedon oppimiseen, joten niiden nopea korjaaminen helpottaa opiskelua. Tutkielman tulosten pohjalta voitaisiin suunnitella oppitunteja, jotka pyrkisivät minimoimaan yleiset virhekäsitykset. Mielenkiintoinen jatkotutkimusidea olisi tutkia, millaisia virheitä opiskelijat tekevät, jos opetus on suunniteltu tunnettujen virhekäsitysten pohjalta.
-
(2023)Tämän tutkielman tavoitteena oli selvittää, millaisia virheitä ylioppilaskokelaat tyypillisimmin tekivät matematiikan ylioppilaskokeiden valikoiduissa geometrian tehtävissä vuosina 2019–2022. Lisäksi tarkoituksena oli pohtia, miten tyypillisimmät virheet voitaisiin ottaa huomioon matematiikan opetuksessa. Tutkimuksen toteutusta varten valittiin kahdeksan geometrian tehtävää. Tehtäviä valittiin sekä lyhyen että pitkän oppimäärän kokeista. Lukion geometrian kurssit pohjautuvat peruskoulussa opittuihin tietoihin ja taitoihin, joille aletaan rakentaa pohjaa jo peruskoulun ensimmäiseltä vuosiluokalta alkaen. Geometria on kuitenkin matematiikan ala, jonka opettaminen ja oppiminen koetaan usein vaikeaksi. Tutkielman teoreettista taustaa varten perehdyttiin Van Hielen sekä Fiscbeinin geometriseen käsitteenmuodostukseen liityviin teorioihin, jotka osittain selittävät geometrian oppimisen haasteita. Lisäksi perehdyttiin virheiden ja virhekäsitysten muodostumiseen sekä aiempiin geometrian tehtävien virheitä selvittäneisiin tutkimuksiin. Analysoitu aineisto koostui Ylioppilastutkintolautakunnan kokoamasta korpusaineistosta, joka sisälsi jokaisesta tutkimukseen valitusta tehtävästä sata kokelaiden kirjoittamaa ratkaisua. Aineisto analysoitiin hyödyntäen aineistolähtöistä sisällönanalyysiä. Ratkaisuissa esiintyneet virheet taulukoitiin ja luokiteltiin virheryhmiin tehtäväkohtaisesti. Lisäksi arvioitiin virheiden merkittävyyttä. Tehtävissä tyypillisimmin esiintyneiden virheiden pohjalta muodostettiin niitä kuvaavat virheluokat. Ylioppilaskokelaiden ratkaisuissa esiintyneitä tyypillisiä virheitä olivat esimerkiksi pyöristysvirheet, virheet trigonometristen funktioiden käytössä, väärien kaavojen käyttäminen tilavuudelle ja pinta-alalle sekä tehtävän ratkaiseminen geometriaohjelmistolla tai muuten kokeilemalla ilman riittäviä perusteluja. Ratkaisujen analyysin perusteella kokelaiden tekemät virheet jaettiin kahdeksaan virheluokkaan: pyöristäminen, kolmion mitat, trigonometria, kulma ja asteet, kuvioiden ja kappaleiden muodon hahmottaminen, pinta-ala ja tilavuus, ratkaisustrategiat sekä tehtävänannon tulkinta. Monet havaituista virheistä esiintyivät myös aiemmissa tutkimuksissa. Tutkimuksessa ilmenneet tyypillisimmät virheet voidaan ottaa huomioon matematiikan opetuksessa esimerkiksi tarjoamalla mahdollisimman monipuolisia tehtäviä eri aihealueilta. Oppilaiden mahdollisia olemassa olevia virhekäsityksiä voidaan selvittää kurssin alussa diagnostisten testien avulla. Opettajan olisi syytä kiinnittää huomiota omiin mallikuviinsa ja merkintätapoihinsa sekä korostaa erityisesti vastausten perustelun tärkeyttä. Liiallinen kognitiivinen kuormitus voi kuitenkin hyvästä opetuksesta huolimatta vaikuttaa virheiden tekemiseen. Mielenkiintoinen jatkotutkimuksen aihe olisikin tässä ja muissa aiemmissa tutkimuksissa esiintymineiden virheiden yleisyyden kartoittaminen geometrian kurssilla tehtävän testin avulla, jolloin jännittämisestä aiheutuvat virheet saataisiin paremmin kontrolliin.
Now showing items 1-5 of 5