Browsing by Subject "virhekäsitykset"

Tämän tutkielman tavoitteena on selvittää tyypillisimmät virheet ja virhekäsitykset eksponentti- ja logaritmitehtävissä. Tutkimuksessa tarkastellaan pitkän ja lyhyen matematiikan ylioppilaskokeen tehtäviä aiheeseen liittyen. Tutkielmassa esitellään lisäksi tarkasteltujen tehtävien vastausmäärät ja pistejakaumat. Tutkielma aloitetaan esittelemällä eksponentti- ja logaritmifunktioiden teoriaa, jonka jälkeen esitellään aikaisempia tutkimuksia logaritmien virhekäsityksistä. Aikaisemmissa tutkimuksissa on havaittu, että logaritmeja koskevat perusajatukset, kuten logaritmin lause, määritelmä ja symboliesitys ovat jääneet epäselviksi oppilaille. Tutkimuksen aineisto, joka saatiin Ylioppilastutkintolautakunnalta, koostui yhteensä neljästä matematiikan tehtävästä, joista kaksi tehtävää oli pitkän matematiikan kokeesta ja kaksi tehtävää lyhyen matematiikan kokeesta. Tutkimuksessa analysoitujen tehtävien perusteella havaittiin, että sekä pitkän että lyhyen matematiikan kokeessa käytössä olleen taulukkokirjan, josta löytyy logaritmin määritelmä ja laskukaavat, kokelaat olisivat voineet hyödyntää paremmin. Logaritmi- ja eksponenttiyhtälön ratkaisuissa ilmeni yhtälönratkaisuun liittyviä haasteita ja logaritmin määritelmään liittyviä virhekäsityksiä. Tutkimuksessa havaittiin lisäksi laskimen käyttöön liittyviä haasteita, kuten logaritmilausekkeen kirjoittaminen laskimeen ja logaritmin tarkan arvon selvittäminen laskimen avulla.

Tavoitteet. Yhtälöiden ratkaisemisen on todettu olevan monille opiskelijoille haastavaa. Aiempien tutkimusten perusteella yhtälöiden ratkaisemisessa ilmenee monentyyppisiä virhekäsityksiä, jotka liittyvät muun muassa yhtälön käsitteeseen, yhtäsuuruusmerkin ymmärtämiseen, yhtälönratkaisuoperaatioiden ja yhtälönratkaisustrategioiden käyttöön, algebrallisten lausekkeiden sieventämiseen ja jäsentämiseen sekä aritmetiikan taitoihin. Yhtälöiden osaamista ja niihin liittyviä virhekäsityksiä on tutkittu erityisesti peruskouluikäisillä oppilailla, mutta tätä vanhemmille opiskelijoille suunnattuja tutkimuksia on olemassa huomattavasti vähemmän. Tämän tutkimuksen tavoitteena oli tutkia suomalaisten lukio-opiskelijoiden yhtälönratkaisun osaamisen tasoa ja yhtälöihin liittyviä virhekäsityksiä lyhyen matematiikan ylioppilaskirjoituksissa. Opiskelijoiden ratkaisuissa esiintyviä virhekäsityksiä selvitettiin ensimmäisen asteen yhtälöiden, vaillinaisten toisen ja korkeamman asteen potenssiyhtälöiden sekä saman kantaluvun eksponenttiyhtälöiden osalta. Menetelmät. Tutkimuksen aineisto saatiin valmiina Ylioppilastutkintolautakunnalta. Aineisto koostui kahdesta osasta. Ensimmäinen aineistokokonaisuus sisälsi lyhyen matematiikan ylioppilaskokeiden tehtäväkohtaiset pistejakaumat vuosilta 2016–2021, joiden avulla analysoitiin yleistä yhtälöiden osaamisen tasoa. Toinen aineistokokonaisuus koostui otoksesta ylioppilaskokelaiden ratkaisuja kahteen lyhyen matematiikan ylioppilaskokeen yhtälötehtävään. Ratkaisujen perusteella analysoitiin opiskelijoilla esiintyviä yhtälöihin liittyviä virhekäsityksiä. Yhteensä opiskelijoiden ratkaisuja analysoitiin 120 kappaletta (n=120). Tulokset ja johtopäätökset. Saatujen tulosten perusteella yhtälöiden osaaminen vaihteli paljon vuosien 2016–2021 lyhyen matematiikan ylioppilaskokeiden A-osan yhtälötehtävien välillä. Pistejakauma-aineiston perusteella voitiin päätellä, että osaaminen oli heikompaa yhtälöissä, joiden ratkaisemiseen vaadittiin useamman käänteisoperaation käyttöä, algebran sieventämisen taitoja tai toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Myös kokonaan symbolisessa muodossa olevissa yhtälöissä osaaminen oli heikompaa. Otoksesta opiskelijoiden ylioppilaskoeratkaisuja selvisi, että yhtälöiden osaamisen taso vaihteli paljon opiskelijoiden kesken. Aineistosta löydettiin virhekäsityksiä kaikkiin analyysirungon virhekäsityskategorioihin liittyen, joita olivat yhtälön käsite ja yhtäsuuruusmerkki, käänteisoperaatiot ja yhtälönratkaisustrategiat sekä algebran sieventäminen. Lisäksi tuloksissa eriteltiin erikseen eksponentti- ja potenssiyhtälöille ominaisia virhetyyppejä. Tutkimuksessa huomattiin erityyppisissä yhtälöissä ilmenevän niille ominaisia virhekäsityksiä. Erityisen paljon opiskelijoiden ratkaisuissa esiintyi käänteisoperaatioiden käyttöön liittyviä virheitä, mutta aineistosta nousi esille myös haasteet muun muassa algebran sieventämisessä ja toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärässä.

Tämän tutkielman tavoitteena oli selvittää, millaisia virhekäsityksiä lukion pitkän matematiikan opiskelijoilla on funktion derivoituvuudesta ja jatkuvuudesta. Aihetta tutkittiin ylioppilaskoetehtävien ratkaisuista. Tutkielmaan valittiin neljä koetehtävää vuosilta 2020–2022, jotka käsittelivät derivaattaa sekä pisteessä derivoituvuutta ja jatkuvuutta. Tutkielma kuvailee tehtävissä esiintyneitä virhekäsityksiä sekä pohtii mahdollisia syitä virhekäsityksien muodostumiselle. Virhekäsitysten taustalla voi olla heikko konseptuaalinen ymmärrys. Kun opiskelijalla on huono konseptuaalinen ymmärrys, saattaa hänen osaamisensa perustua vain ulkoa opittuihin prosesseihin. Jos opiskelijan osaaminen perustuu vain muistiin, virheitä syntyy helposti, ja opiskelijan on hankala havaita niitä itse. Myös oikeiden sääntöjen yleistäminen uusiin tilanteisiin on useiden virheiden taustalla. Tutkielman teoreettisessa taustassa määritellään, mitä virhekäsityksellä tarkoitetaan. Virhekäsitysten syitä tarkastellaan proseduraalisen ja konseptuaalisen ymmärryksen, representaatioiden ja opiskelijan käsitekuvan näkökulmasta. Tutkielman teoreettisessa pohjassa esitellään lisäksi aikaisempia tutkimuksia aiheesta. Tutkielmassa käytetty aineisto koostui Ylioppilaslautakunnan kokoamasta korpusaineistosta, joka sisältää kokelasratkaisuja ja pistetilastoja vuosien 2019–2020 ylioppilaskokeista. Tämän tutkielman käyttöön saatiin korpusaineistosta 100 koeratkaisua jokaiseen tutkielmaan valittuun neljään koetehtävään. Ratkaisut analysoitiin aineistolähtöisellä sisällönanalyysillä, jossa aineistosta etsittiin opiskelijoiden tekemät virheet. Opiskelijoiden virheistä haettiin yhtäläisyyksiä, joiden perusteella mahdolliset virhekäsitykset luokiteltiin. Tutkielmassa yleisin virhe jatkuvuuden osoittamisessa oli, että opiskelijat tutkivat vain raja-arvon olemassaoloa. Virhe voi syntyä, jos opiskelijat käsittelevät raja-arvoa vain sijoituksena, jolloin raja-arvo vastaa funktion arvoa, mistä seuraa, että funktion arvo jätetään tarkastamatta. Erotusosamäärän raja-arvoa laskettaessa suora sijoitus johti opiskelijoita tuloksiin, joissa derivoituva funktio on derivoitumaton. Lisäksi tutkielmassa havaittiin, että osalla opiskelijoista on virhekäsitys, jossa funktio ei ole derivoituva, jos funktion derivaatta on nolla. Osa opiskelijoista uskoi, että funktion jatkuvuudesta seuraisi funktion derivoituvuus, kun taas osa opiskelijoista väitti epäjatkuvaa funktiota derivoituvaksi. Monet tutkielmassa löydetyt virhekäsitykset esiintyivät myös aikaisemmissa tutkimuksissa. Tutkimustulosten pohjalta opettajien on mahdollista kehittää omaa opetustaan. Kun opettaja tuntee opiskelijoiden yleisimpiä virhekäsityksiä, hän tunnistaa ne nopeammin ja pystyy tarjoamaan tukea näiden korjaamiseen. Virhekäsitykset voivat vaikuttaa uuden tiedon oppimiseen, joten niiden nopea korjaaminen helpottaa opiskelua. Tutkielman tulosten pohjalta voitaisiin suunnitella oppitunteja, jotka pyrkisivät minimoimaan yleiset virhekäsitykset. Mielenkiintoinen jatkotutkimusidea olisi tutkia, millaisia virheitä opiskelijat tekevät, jos opetus on suunniteltu tunnettujen virhekäsitysten pohjalta.

Tavoitteet – Vuoden 2018 syksystä lähtien ylioppilaskokeet ovat järjestetty sähköisesti valtakunnallisesti. Tämä on vaatinut muutoksia sekä matematiikan opetukseen että koekysymyksiin. Muuttuneiden kysymysten ja apuvälineiden johdosta ei ole enää triviaalia, minkälaisia virheitä kokelaat ylioppilaskokeissa tekevät. Tämän tutkielman tavoitteena on valaista käsitystä siitä, mitä virheitä pitkän matematiikan todennäköisyyslaskennan ylioppilaskoetehtävissä tehdään. Tämän lisäksi löytyviä virheitä tarkastellaan tehtävän vaatimusten ja todennäköisyyslaskentaan liittyvien virhekäsitysten valossa ankkuroiden niitä olemassa olevaan tutkimustietoon. Rakenne – Tutkielma lähtee liikkeelle lukion opetussuunnitelman perusteissa 2015 esitettyjen osaamistavoitteiden ja sisältökokonaisuuksien tarkastelulla. Kyseiseen opetussuunnitelmaan perustuvan kurssin, MAA10 Todennäköisyys ja tilastot, kirjaa käytetään tarkastelussa apuna ja sen avulla listataan keskeisimmät kurssin sisällöt, jotta lukija saa käsityksen siitä, mitä kokelaiden tule kurssin aikana oppia todennäköisyyslaskennasta. Seuraavaksi tarkastellaan empiiristä virheiden luokittelumallia, joka on suunniteltu niin, että kaikki virheet on mahdollista luokitella yksikäsitteisesti yhteen kuudesta virheluokasta. Luokittelumallin suunnittelivat Nitsa Movshovitz-Hadar, Orit Zaslavsky ja Shlomo Inbar vuonna 1987. Viimeisenä esitietona tarkastellaan viittä erilaista virhekäsitystä, joiden linkittymistä todennäköisyyslaskentaan on jo tutkittu. Näiden virhekäsitysten osallisuutta virheisiin tullaan tarkastelemaan ensin tehtävän näkökulmasta eli mahdollistavatko jotkin tehtävän vaatimukset tai piirteet tiettyjä virhekäsityksiä. Tämän jälkeen potentiaalisia virhekäsityksiä tarkastellaan vielä löytyneiden virheiden näkökulmasta, jotta nähdään, onko virheissä viitteitä edellä löydettyihin virhekäsityksiin. Menetelmät – Tutkimuksessa tarkastellaan neljää todennäköisyyslaskennan tehtävää vuosien 2019, 2020 ja 2021 ylioppilaskokeista. Tehtävien purkaminen alkaa esimerkkiratkaisusta ja tarkastelusta, mitä oleellisia tietoja ja taitoja kokelaalta vaaditaan tehtävän ratkaisemiseksi. Tämän jälkeen kustakin tehtävästä tutkitaan 100 kokelasratkaisua ja jokaisesta etsitään tehdyt virheet. Virheiden luonteen selvittämiseksi käytetään empiiristä virheluokittelumallia. Tämän jälkeen luokittelun tulosten ja valtakunnallisten tehtäväkohtaisten pistejakaumien avulla pohditaan, kuinka yleisiä kyseiset virheet saattavat olla valtakunnallisella tasolla. Tulokset – Kaksi tutkimuksessa tarkastelluista tehtävistä olivat monialaisia. Näiden tehtävien kohdalla merkittävä osa virheistä tapahtui kohdissa, joissa todennäköisyyslaskenta ei ollut keskiössä. Tämä kuitenkin johtui siitä, että se todennäköisyyslaskennan osa, jonka tietämystä tehtävässä vaadittiin, ei ollut juurikaan perustehtävistä poikkeavaa tai haastavaa. Kahdessa muussa tehtävässä painopiste oli kuitenkin lähes täysin todennäköisyyksissä. Näissä tehtävissä virheet painottuivat lausekkeiden muodostukseen, joissa haasteena olivat ehdolliset todennäköisyydet, yhteenlaskusäännön sekä kertolaskusäännön hyödyntäminen. Virhekäsitysten kautta lähestyttäessä huomattiin, että yksittäisten todennäköisyyslaskennan ylioppilaskoetehtävien perusteella on vaikeaa sanoa perusteellisesti, mikä tai mitkä virhekäsitykset ajattelun takana piilevät. Kuitenkin erään tehtävän kohdalla oli selvästi huomattavissa potentiaalinen virhekäsitys, saatavuus, jonka oleellisena tunnusmerkkinä on taipumus muodostaa tarkasteltava perusjoukko listaamalla kaikki sellaiset tapaukset, jotka henkilö kyseisellä hetkellä sattuu muistamaan. Saatavuus-virhekäsitys saattaa ollakin potentiaalinen tekijä tehtävien kombinatorisissa vaiheissa tapahtuvissa virheissä, mutta tämän todellinen selvittäminen vaatisi tarkempia ja perusteellisempia tutkimuksia.

Yhtälöiden ja yhtälönratkaisun oppiminen on ollut vaikeaa monelle aihetta opiskelleelle. Vanhemmat tutkimukset osoittavat näiden vaikeuksien taustalla olevan moninaiset virhekäsitysten luokat, joista merkittävimpiä ovat algebralliset rakenteet ja kirjaimet yhtälössä, sieventäminen, yhtäsuuruus ja yhtälönratkaisukeinot. Suomalaisten oppilaiden kohdalla tehdyt tutkimukset osoittavat yhtälönratkaisussa olevan samoja haasteita kuin muuallakin ja erityisesti yhtälöiden osalta nousee esiin merkittävät tasoerot oppilaiden välillä aiheen suhteen. Tutkimus suomalaisten oppilaiden tapauksessa on kuitenkin vähäistä ja keskittyy enemmän peruskouluikäisiin oppilaisiin. Tämän tutkimuksen tarkoituksena on siten tutkia lukiota päättävien opiskelijoiden yhtälönratkaisutaidon tasoa yo-kokeiden monivalinta- ja produktiivisten aukkotehtävien tuloksien pohjalta. Ylioppilastutkintolautakunnan luvalla saatu tutkimusaineisto sisältää vuosien 2019–2021 matematiikan yo-kokeiden yhtälönratkaisuun liittyvät monivalinta- ja produktiiviset aukkotehtävät, joiden avulla analysoitiin opiskelijoiden yhtälönratkaisutaidon osaamista ja tehtyjä virheitä aikaisemman aiheeseen liittyvän teorian näkökulmasta. Analysoitava aineisto piti siis sisällään niin pitkän kuin lyhyen matematiikan tehtäviä ja kaikki tutkintokertojen vastaukset näihin tehtäviin analysoitiin. Aineiston tarkastelu osoitti lukion päättävien opiskelijoiden osaavan pääasiassa perus yhtälönratkaisuntaidot hyvin, mutta niin lyhyen kuin pitkän matematiikan kirjoittajista löytyi opiskelijoita, joilla oli vaikeuksia myös perus yhtälönratkaisutaidoissa. Näiden vaikeuksissa olleiden opiskelijoiden virheiden taustalta löytyi pitkälti samat virhekäsitykset kuin teoria osuudessa oli esitelty.