Browsing by Subject "yhtälönratkaisu"

Tavoitteet. Yhtälöiden ratkaisemisen on todettu olevan monille opiskelijoille haastavaa. Aiempien tutkimusten perusteella yhtälöiden ratkaisemisessa ilmenee monentyyppisiä virhekäsityksiä, jotka liittyvät muun muassa yhtälön käsitteeseen, yhtäsuuruusmerkin ymmärtämiseen, yhtälönratkaisuoperaatioiden ja yhtälönratkaisustrategioiden käyttöön, algebrallisten lausekkeiden sieventämiseen ja jäsentämiseen sekä aritmetiikan taitoihin. Yhtälöiden osaamista ja niihin liittyviä virhekäsityksiä on tutkittu erityisesti peruskouluikäisillä oppilailla, mutta tätä vanhemmille opiskelijoille suunnattuja tutkimuksia on olemassa huomattavasti vähemmän. Tämän tutkimuksen tavoitteena oli tutkia suomalaisten lukio-opiskelijoiden yhtälönratkaisun osaamisen tasoa ja yhtälöihin liittyviä virhekäsityksiä lyhyen matematiikan ylioppilaskirjoituksissa. Opiskelijoiden ratkaisuissa esiintyviä virhekäsityksiä selvitettiin ensimmäisen asteen yhtälöiden, vaillinaisten toisen ja korkeamman asteen potenssiyhtälöiden sekä saman kantaluvun eksponenttiyhtälöiden osalta. Menetelmät. Tutkimuksen aineisto saatiin valmiina Ylioppilastutkintolautakunnalta. Aineisto koostui kahdesta osasta. Ensimmäinen aineistokokonaisuus sisälsi lyhyen matematiikan ylioppilaskokeiden tehtäväkohtaiset pistejakaumat vuosilta 2016–2021, joiden avulla analysoitiin yleistä yhtälöiden osaamisen tasoa. Toinen aineistokokonaisuus koostui otoksesta ylioppilaskokelaiden ratkaisuja kahteen lyhyen matematiikan ylioppilaskokeen yhtälötehtävään. Ratkaisujen perusteella analysoitiin opiskelijoilla esiintyviä yhtälöihin liittyviä virhekäsityksiä. Yhteensä opiskelijoiden ratkaisuja analysoitiin 120 kappaletta (n=120). Tulokset ja johtopäätökset. Saatujen tulosten perusteella yhtälöiden osaaminen vaihteli paljon vuosien 2016–2021 lyhyen matematiikan ylioppilaskokeiden A-osan yhtälötehtävien välillä. Pistejakauma-aineiston perusteella voitiin päätellä, että osaaminen oli heikompaa yhtälöissä, joiden ratkaisemiseen vaadittiin useamman käänteisoperaation käyttöä, algebran sieventämisen taitoja tai toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Myös kokonaan symbolisessa muodossa olevissa yhtälöissä osaaminen oli heikompaa. Otoksesta opiskelijoiden ylioppilaskoeratkaisuja selvisi, että yhtälöiden osaamisen taso vaihteli paljon opiskelijoiden kesken. Aineistosta löydettiin virhekäsityksiä kaikkiin analyysirungon virhekäsityskategorioihin liittyen, joita olivat yhtälön käsite ja yhtäsuuruusmerkki, käänteisoperaatiot ja yhtälönratkaisustrategiat sekä algebran sieventäminen. Lisäksi tuloksissa eriteltiin erikseen eksponentti- ja potenssiyhtälöille ominaisia virhetyyppejä. Tutkimuksessa huomattiin erityyppisissä yhtälöissä ilmenevän niille ominaisia virhekäsityksiä. Erityisen paljon opiskelijoiden ratkaisuissa esiintyi käänteisoperaatioiden käyttöön liittyviä virheitä, mutta aineistosta nousi esille myös haasteet muun muassa algebran sieventämisessä ja toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärässä.

Tässä työssä tutkitaan yhtäsuuruusmerkin esiintymistä matematiikan oppikirjoissa. Tavoitteena on selvittää, vahvistavatko oppimateriaalit yhtäsuuruuden syvällistä ymmärrystä. Lisäksi selvitetään, millaiset määritelmät oppikirjat antavat yhtäsuuruudelle ja yhtälöille sekä millaisia vinkkejä opettajan materiaalit tarjoavat yhtäsuuruuden opetukseen. Työssä esitellään yhtäsuuruudelle ja yhtälöille matemaattiset määritelmät ja tutustutaan erilaisiin yhtälöihin sekä yhtäsuuruusmerkin kaksiin kasvoihin: sen operationaaliseen ja relationaaliseen puoleen. Lisäksi esitellään matemaattisen tiedon oppimiselle olennaiset käsitteet konseptuaalinen ja proseduraalinen tieto sekä tutustutaan David Tallin (2004) matematiikan kolmeen maailmaan. Työn teoriapohjan luovat aiemmat tutkimukset yhtäsuuruuden ja yhtälöiden ymmärtämisestä sekä oppimisvaikeuksista ja virhekäsityksistä. Aikaisemmissa tutkimuksissa on havaittu, että yhtäsuuruudesta voi muodostua lapsille virhekäsityksiä jo ennen kouluikää (Carpenter et al., 2003), ja yhtäsuuruusmerkkiin liittyvät virhekäsitykset ovat monesti itsepintaisimpia (Booth et al., 2014). Yhtäsuuruusmerkki esimerkiksi nähdään operaationa ’’anna vastaus’’. Opettajat eivät tunnu kiinnittävän riittävästi huomiota yhtäsuuruusmerkin opettamiseen sen jälkeen, kun se on alakoulussa esitelty (Knuth et al., 2005), eivätkä oppimateriaalit välttämättä tue opettajia sen opettamisessa (Li et al., 2008). Tutkimuksen aineistona toimi yhteensä 2 esiopetuksen, 24 alakoulun, ja 3 yläkoulun oppikirjaa, joita tutkittiin tutkimuksen kahdessa eri osassa. Ensimmäisessä osassa selvitettiin alakoulun oppikirjojen yhtälötyyppejä ja niiden sijoittumista kategorioihin ja toisessa osassa selvitettiin yhtäsuuruuden ja yhtälöiden määritelmiä sekä opettajan oppaiden vinkkejä opetukseen. Tämän tutkimuksen päähavainto oli, että yhtäsuuruuden opettamiseen ei kiinnitetä oppikirjoissa riittävästi huomiota eikä sen tärkeyttä mainita yhdessäkään oppikirjassa. Yhtäsuuruudelle ei esitetä määritelmää, mutta yhtälöiden määritelmät ovat pieniä eroja lukuun ottamatta lähes samanlaiset. Lisäksi tutkimuksessa vahvistettiin aiempien tutkimusten havainto, että yhtälöt esitellään pääasiassa muodossa 1 + 2 = 3, jossa yhtäsuuruusmerkki esiintyy operationaalisena. Tutkimuksen pohjalta luotiin myös täydentävä oppimateriaali yhtäsuuruuden käsitteen sekä yhtäsuuruusmerkin opetukseen esiopetuksesta yläkouluun. Jatkotutkimusaiheita voisivat olla tämän oppimateriaalin testaaminen käytännössä sekä suomalaisten peruskoululaisten yhtäsuuruuden käsitteen ymmärryksen tutkiminen.