Browsing by Subject "ykkösen ositus"

Tutkielman aiheena ovat parakompaktit avaruudet. Työn tarkoituksena on esittää tämän avaruuksien luokan ominaisuuksia sekä näyttää parakompaktiuden tärkeys yleisessä topologiassa. Parakompaktin avaruuden käsitteen otti ensimmäisenä käyttöön ranskalainen matemaatikko Jean Dieudonné vuonna 1944. Avaruus X on parakompakti, jos sen jokaisella avoimella peitteellä on lokaalisti äärellinen avoin tihennys. Työn alussa kerrataan käsitteitä, joita tullaan tulevissa lauseissa ja määritelmissä tarvitsemaan. Näitä ovat esimerkiksi kompaktius, tihennys ja lokaalinen äärellisyys. Luvun 3 alussa annetaan parakompaktin avaruuden määritelmä ja näytetään parakompaktin avaruuden yhteys muihin avaruuksien luokkiin sekä todistetaan sen tärkeimpiä ominaisuuksia. Osoitetaan esimerkiksi, että jokainen kompakti avaruus on parakompakti ja että jokainen parakompakti Hausdorffin avaruus on normaali. Perusominaisuuksista näytetään muun muassa, että parakompaktin avaruuden suljettu osajoukko on parakompakti, mutta parakompaktien avaruuksien tulo ei sitä välttämättä ole. Luvun 4 tarkoitus on osoittaa A.H. Stonen vuonna 1948 todistama lause joka näyttää, että jokainen metristyvä avaruus on parakompakti. Stonen lause lisäsi parakompaktiuden suosiota ja merkitystä huomattavasti ja siitä tuli pian yksi yleisen topologian tärkeistä käsitteistä, metristyvyyden ja kompaktiuden ohella. Hyvin tärkeä parakompaktin Hausdorffin avaruuden ominaisuus on avoimiin peitteisiin sopivien ykkösen ositusten olemassaolo. Tätä käsittelee luku 6. Lisäksi työssä näytetään, että jokainen säännöllinen Lindelöfin avaruus on parakompakti ja tutkitaan parakompaktin avaruuden yhteyttä kahteen tihennystyyppiin, barysentriseen tihennykseen ja tähtitihennykseen, jotka eivät välttämättä ole lokaalisti äärellisiä. Viimeisessä luvussa osoitetaan vielä, että parakompaktius säilyy jatkuvassa, suljetussa surjektiossa.