Browsing by Subject "ylioppilaskirjoitukset"

Todistaminen matematiikassa nähdään opetuksessa tehtävätyyppinä, jota ei peruskoulussa tai toisen asteen opinnoissa hirveästi harjoitella. Kuitenkin matemaattinen todistaminen on tärkeää, sillä matematiikassa hyödynnetyt kaavat täytyy todistaa, mikäli niitä haluaa käyttää. Tässä tutkielmassa tarkastellaan kolmea pitkän matematiikan ylioppilaskoetehtävää eri kirjoituskerroilta. Tutkielmassa tarkastellaan kokelasratkaisuissa havaittavia virheitä ja virhekäsityksiä pitkän matematiikan ylioppilaskirjoituksien induktiotehtävissä. Tutkielmassa esitellään kokeiden induktiotodistustehtävien vastausmäärät, pistekeskiarvot, pistejakaumat sekä kokelaiden arvosanojen suhteet ansaittuihin pisteisiin. Tutkielman alussa esitetään, miten todistaminen näkyy opetussuunnitelman perusteissa sekä käsitellään induktiotodistus matemaattisesti ja esimerkkien avulla. Neljännessä luvussa esitetään, miten induktiotodistus näkyy lukion oppimateriaaleissa. Luvussa viisi mainitaan aikaisempia tutkimuksia induktiotodistuksesta toisen asteen oppilaitoksissa sekä yliopistoissa. Pitkän matematiikan ylioppilaskoe esitellään luvussa kuusi. Luvussa seitsemän kerrotaan, miten tutkimus on toteutettu. Lisäksi luvussa esitetään tarkasteltavana olevat ylioppilaskoetehtävät, niiden ratkaisut sekä kokelasratkaisujen analysointi. Kahdeksannessa luvussa vertaillaan tutkimuksen tuloksia aikaisempiin tutkimuksiin. Luvuissa yhdeksän ja kymmenen pohditaan tutkimuksen luotettavuutta sekä mahdollisia jatkotutkimuskohteita. Tutkimuksessa käsiteltyjen kokelasratkaisujen perusteella voidaan todeta, että mitä paremman arvosanan kokeesta sai, sen parempia pistemääriä induktiotodistustehtävistä oli saatu. Induktiotodistustehtäviä kokelaat olivat tehneet vähän ja pistemäärät tehtävissä olivat alhaiset. Analyysin perusteella suurin virhekäsitys koskee induktiovaihetta. Kokelaat eivät osanneet muodostaa induktio-oletusta ja käyttää sitä hyödyksi induktioväitteen todistamiseen. Kokelailla oli haasteita peruslaskutoimituksissa sekä summan määritelmässä. Opetuksellisesta näkökulmasta tutkimuksen tulokset ovat merkittäviä, sillä oppilaiden on sisäistettävä matemaattiset ilmiöt ja sovellettava niitä sekä käytännössä että ohjelmistoja käyttäessä. Tutkimuksen tulokset tukevat aikaisemmin tehtyjen tutkimuksien tuloksia. Tulevaisuudessa voisi tutkia, tukeeko tutkimukseni kevään 2023 ylioppilaskokeen induktiotehtävissä ilmeneviä virhekäsityksiä, sekä mitä virhekäsityksiä yliopisto-opiskelijoilla on induktiotodistusta käsittelevän kurssin aikana tai kurssin jälkeen.

Tavoitteet. Yhtälöiden ratkaisemisen on todettu olevan monille opiskelijoille haastavaa. Aiempien tutkimusten perusteella yhtälöiden ratkaisemisessa ilmenee monentyyppisiä virhekäsityksiä, jotka liittyvät muun muassa yhtälön käsitteeseen, yhtäsuuruusmerkin ymmärtämiseen, yhtälönratkaisuoperaatioiden ja yhtälönratkaisustrategioiden käyttöön, algebrallisten lausekkeiden sieventämiseen ja jäsentämiseen sekä aritmetiikan taitoihin. Yhtälöiden osaamista ja niihin liittyviä virhekäsityksiä on tutkittu erityisesti peruskouluikäisillä oppilailla, mutta tätä vanhemmille opiskelijoille suunnattuja tutkimuksia on olemassa huomattavasti vähemmän. Tämän tutkimuksen tavoitteena oli tutkia suomalaisten lukio-opiskelijoiden yhtälönratkaisun osaamisen tasoa ja yhtälöihin liittyviä virhekäsityksiä lyhyen matematiikan ylioppilaskirjoituksissa. Opiskelijoiden ratkaisuissa esiintyviä virhekäsityksiä selvitettiin ensimmäisen asteen yhtälöiden, vaillinaisten toisen ja korkeamman asteen potenssiyhtälöiden sekä saman kantaluvun eksponenttiyhtälöiden osalta. Menetelmät. Tutkimuksen aineisto saatiin valmiina Ylioppilastutkintolautakunnalta. Aineisto koostui kahdesta osasta. Ensimmäinen aineistokokonaisuus sisälsi lyhyen matematiikan ylioppilaskokeiden tehtäväkohtaiset pistejakaumat vuosilta 2016–2021, joiden avulla analysoitiin yleistä yhtälöiden osaamisen tasoa. Toinen aineistokokonaisuus koostui otoksesta ylioppilaskokelaiden ratkaisuja kahteen lyhyen matematiikan ylioppilaskokeen yhtälötehtävään. Ratkaisujen perusteella analysoitiin opiskelijoilla esiintyviä yhtälöihin liittyviä virhekäsityksiä. Yhteensä opiskelijoiden ratkaisuja analysoitiin 120 kappaletta (n=120). Tulokset ja johtopäätökset. Saatujen tulosten perusteella yhtälöiden osaaminen vaihteli paljon vuosien 2016–2021 lyhyen matematiikan ylioppilaskokeiden A-osan yhtälötehtävien välillä. Pistejakauma-aineiston perusteella voitiin päätellä, että osaaminen oli heikompaa yhtälöissä, joiden ratkaisemiseen vaadittiin useamman käänteisoperaation käyttöä, algebran sieventämisen taitoja tai toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Myös kokonaan symbolisessa muodossa olevissa yhtälöissä osaaminen oli heikompaa. Otoksesta opiskelijoiden ylioppilaskoeratkaisuja selvisi, että yhtälöiden osaamisen taso vaihteli paljon opiskelijoiden kesken. Aineistosta löydettiin virhekäsityksiä kaikkiin analyysirungon virhekäsityskategorioihin liittyen, joita olivat yhtälön käsite ja yhtäsuuruusmerkki, käänteisoperaatiot ja yhtälönratkaisustrategiat sekä algebran sieventäminen. Lisäksi tuloksissa eriteltiin erikseen eksponentti- ja potenssiyhtälöille ominaisia virhetyyppejä. Tutkimuksessa huomattiin erityyppisissä yhtälöissä ilmenevän niille ominaisia virhekäsityksiä. Erityisen paljon opiskelijoiden ratkaisuissa esiintyi käänteisoperaatioiden käyttöön liittyviä virheitä, mutta aineistosta nousi esille myös haasteet muun muassa algebran sieventämisessä ja toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärässä.

Tässä maisterintutkielmassa tutkitaan mitä vaikutuksia ylioppilaskokeiden siirtymisellä sähköiseen muotoon on ollut lukion pitkässä ja lyhyessä matematiikassa todennäköisyyslaskennan osalta. Tarkastelemme pitkän ja lyhyen matematiikan oppikirjoja, ylioppilaskokeiden tehtäviä ja pistejakaumia sekä ylioppilaskokelaiden suorituksia. Tutkielman katsauksessa lukion todennäköisyyslaskennan oppikirjoihin huomataan että sähköisyys ei ole niissä vielä yleistä. Lyhyen matematiikan oppikirjoissa tilastolaskennan tehtävissä sähköisyyttä hyödynnetään erityisesti tilastolaskennan tehtävissä mutta muuten se on varsin vähäistä. Pitkässä matematiikassa sähköisyyttä hyödyntäviä tehtäviä ei ole lähes lainkaan. Tutkielmassa käydään läpi tarkasti vuosien 2016-2021 matematiikan ylioppilaskokeiden todennäköisyyslaskennan tehtävät. Tehtäviä analysoidaan määrällisesti ja laadullisesti. Laadullista analysointia varten tehtävät kategorisoidaan tehtävän vaikeuden, sekä tehtävätyypin mukaan. Analysoinnista käy ilmi, että pitkässä matematiikassa tehtävien vaikeustaso ei ole muuttunut. Käy myös ilmi että helpommista tehtävistä saadaan nykyään vähemmän pisteitä kuin perinteisten ylioppilaskokeiden aikana, ja vaikeita tehtäviä valitaan nykyään enemmän ja niistä saadaan enemmän pisteitä. Vastaavasti lyhyessä matematiikassa tehtävät ovat helpompia kuin ennen ja niistä saadaan enemmän pisteitä, ja niitä valitaan yhtä paljon kuin ennenkin. Analysoinnista käy myös ilmi että ylioppilaskokeiden yleisimmät tehtävätyypit ovat muuttuneet. Pitkässä matematiikassa yleisin tehtävätyyppi on muuttunut kombinatoriikan tehtävistä muun todennäköisyyslaskennan tehtäviin ja lyhyessä matematiikassa vastaava muutos on tapahtunut muun todennäköisyyslaskennan tehtävistä tilastolaskennan tehtäviin. Tutkimuksessa myös tarkastellaan ylioppilaskirjoituksiin osallistuvien kokelaiden suorituksia. Sekä pitkässä että lyhyessä matematiikassa tyyppivirheet eivät ole muuttuneet lähes yhtään. Pitkässä matematiikassa yleisimmät virheet ovat kombinaatioiden laskeminen, binomikerroin sekä binomitodennäköisyys. Lyhyen matematiikan osalta yleisimmät virheet ovat koskeneet keskilukujen ja frekvenssin määritelmiä sekä riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien ja binomijakauman laskemista.