Browsing by Subject "ympyrä"

Tämä Pro gradu - tutkielma käsittelee harpilla ja viivaimella tehtyjä geometrisiä kuvioita, eli geometrisia konstruktioita. Tutkielma on tehty kirjallisuuskatsauksena ja se tarjoaa syventävää tietoa harpin ja viivaimen taustalla olevasta rikkaasta historiasta sekä moniulotteisesta matematiikasta. Tutkielma on rakennettu alkamaan pohjustavalla historian katsauksella, jonka jälkeen siirrytään tutkimaan matemaattista taustaa. Tutkielma alkaa historiallisella pohjalla, jossa luodaan katsaus yli 2000 vuoden päähän antiikin Kreikkaan ja sitä edeltäviin kulttuureihin. Tutkielmassa edetään jotakuinkin kronologisessa järjestyksessä antiikin ajoista aina 1800 - luvulle asti. Varhaisimmat harppiin ja viivaimeen liittyvät havainnot ulottuvat antiikin Egyptiin asti, jossa ympyröiden ja suorien viivojen piirtämiseen käytettiin köysiä ja puutikkuja. Egyptiläisten maanmittauksista luotu geometrinen perintö siirtyi antiikin Kreikkaan, jossa matemaatikko Eukleides kokosi kuuluisaan Alkeet - teokseensa geometrian peruskulmakivet. Geometrialle luotiin aksiomaattinen ja todistuksiin perustuva rakenne, joka nojasi hyvin vahvasti harpin ja viivaimen käyttöön. Teoksessa esitettyjen lauseiden rakenne noudatti kaavaa ongelma – todistus – konstruktio, jossa todistukset perustuivat alussa määritettyihin perusolettamuksiin. Antiikin aikaisen historian jälkeen luodaan katsaus harppiin ja viivaimeen työvälineinä sekä näihin liittyviin klassisiin ongelmiin. Harppi ja viivain työvälineinä mahdollistivat geometrialle ominaisten yksinkertaisten kuvioiden, eli suoran ja ympyrän piirtämisen, joten niiden asettaminen konstruktioiden peruspilareiksi oli loogista. Jo antiikin Kreikan aikana tietyt harppi – viivain – ongelmat osoittautuivat vaikeiksi eikä niitä osattu ratkaista Eukleideen määrittämin keinoin. Näitä siihen aikaan ratkaisemattomia ongelmia kutsutaan myös klassisiksi ongelmiksi ja näitä ovat kuution kahdentaminen, ympyrän neliöiminen sekä kulman jakaminen kolmeen osaan. Tutkielmassa avataan näihin liittyvää antiikin aikaista myyttistä historiaa sekä eritellään lyhyesti erilaisia ratkaisuyrityksiä. Klassiset ongelmat kiinnostivat matemaatikoita ja amatöörejä yli 2000 vuotta, kunnes vasta 1700 - ja 1800 - luvulla oli riittävät matemaattiset työkalut näiden todistamiseen mahdottomiksi harpilla ja viivaimella. Tässä tutkielmassa lähdetään rakentamaan matemaattista pohjaa harppi – viivain – konstruktioille matemaatikko ja filosofi René Descartesin 1600 - luvulla luoman analyyttisen geometrian avulla. Samalla kuljetetaan rinnalla koko ajan Alkeiden konstruktioiden algoritmista ideologiaa. Tavoitteena on lähteä muodostamaan vastausta kysymykseen: mitkä kaikki tason pisteet ja tarkemmin vielä mitkä luvut voidaan konstruoida harpilla ja viivaimella? Puhuttaessa konstruoituvuudesta, puhutaan sellaisista karteesisen koordinaatiston pisteistä, joiden koordinaattien luvut voidaan harpin ja viivaimen avulla konstruoida. Joukko-opillisesti konstruoituvat luvut lähdetään rakentamaan rationaaliluvuista neliöllisinä kuntalaajennuksina. Tarkastelun tuloksena huomataan, että harpilla ja viivaimella voidaan konstruoida ainoastaan peruslaskutoimituksilla sekä neliöjuurioperaatioilla saatuja lukuja. Lopuksi osoitetaan teorian valossa antiikin Kreikan kolme klassista ongelmaa mahdottomaksi. Konstruoituvien lukujen jälkeen palataan tutkimaan harppiin ja viivaimeen liittyviä ekvivalenssiteorioita. Harppeja ja viivaimia on olemassa käyttötarkoituksen mukaan erilaisia. Esimerkiksi antiikin Kreikan aikainen euklidinen harppi ei säilytä pituuttaan samalla tavalla kuin nykyisin kouluissakin käytetty moderni harppi, jonka jalat voidaan lukita tiettyyn pituuteen. Ne ovat kuitenkin konstruktioiden näkökulmasta ekvivalentteja työkaluja, eli niillä voidaan tehdä samat operaatiot. Tämä osoitetaan tutkimalla Alkeiden kirjan 1 kahta ensimmäistä propositiota. Lisäksi 1600 - ja 1700 - luvuilla geometriassa nousi uusi mielenkiintoinen tulos: kaikki, mikä voidaan tehdä harpilla ja viivaimella, voidaan myös tehdä pelkästään harpilla. Tämän lauseen nimi on Mohrin ja Mascheronin teoreema ja siihen tutustutaan tutkielmassa myös tarkemmin. Lopuksi luodaan teorian valossa vielä lyhyt katsaus säännöllisiin monikulmioihin. Tässä osoitetaan neliö, säännöllinen viisikulmio sekä säännöllinen kahdeksankulmio konstruoituviksi. Keskeiseksi teemaksi nousee säännöllisten monikulmioiden keskuskulma ja sen konstruoitavuus.

Keväällä 2020 koronapandemia aiheutti peruskouluissa nopean aikataulun siirtymisen lähiopetuksesta etäopetukseen. Tässä pro gradu -tutkielmassa tutkitaan peruskoulun matematiikan sisällöistä ympyrän opettamisen järjestämistä etäopetuksena sekä pohditaan siihen liittyviä ongelmia. Etäopetus määritellään kahden elementin läsnäololla, jotka ovat opettajan ja oppilaan välinen etäisyys sekä järjestävän organisaation läsnäolo. Etäopetuksen kehitys voidaan jakaa teknologian kehityksen mukaisesti viiteen sukupolveen kolmen eri aikakauden aikana. Teknologian kehityksen myötä myös etäopetuksen pedagogiikka on kehittynyt. Kolme tunnistettavaa pedagogista aikakautta olivat kognitiivis-behavioristinen, sosiaali-konstruktiivinen sekä konnektiivinen etäopetuksen pedagogiikka, joiden kaikkien läsnäolo on tärkeää etäopetukselle. Peruskoulussa opetetaan ympyrään liittyen ympyrän kehän ja pinta-alan laskeminen, jonka vuoksi esitellään piin likiarvon laskeminen Arkhimedeen käyttämällä menetelmällä, jossa hyödynnetään ympyrän sisä- ja ulkopuolelle piirrettyjen säännöllisten monikulmioiden piirejä. Lisäksi todistetaan ympyrän pinta-alan kaava matematiikan oppikirjan esittämällä periaatteella, jossa ympyrä jaetaan sektoreihin, joista muodostetaan suunnikasta vastaava kuvio. Tutkimustapana on laadullinen tapaustutkimus, jonka kohteena on yhden opettajan kahden viikon mittainen etäopetusjakso peruskoulussa Vantaalla. Opetuksen järjestäminen esitellään ja sitä analysoidaan pedagogisten sukupolvien näkökulmasta sekä harjoitustehtävien valintaa analysoidaan käyttäen uudistettua Bloomin taksonomiaa. Tutkielman tuloksina todetaan, että etäopetuksen järjestäminen oli toteutettu monipuolisesti siten, että eri etäopetuksen pedagogiikat olivat kaikki jossain muodossa havaittavissa. Sosiaalisen kanssakäymisen määrä oli kuitenkin oppilaista itsestään kiinni. Opetuksen tavoitteena oli opettaa perusasiat, joka näkyi harjoitustehtävien analysoinnissa siten, että suurin osa tehtävistä sijoittui samalle ajattelun ja tiedon tasolle, jossa vaaditaan menetelmätietoa sekä muistamista. Korkeamman ajattelun tason tehtäviä oli enemmän lisätehtävien muodossa. Syvällisempi esitettyjen todistusten läpikäynti olisi hankalaa kahdeksannen luokan oppilaille, sillä heiltä puuttuvat tarvittavat menetelmätiedot. Todistusten idean hahmottelu sen sijaan olisi mahdollista. Yleisinä matematiikan etäopetuksen haasteina todetaan matematiikan kirjoittaminen ja havainnollistaminen sähköisessä ympäristössä. Lisäksi oppilaskohtainen tehtävien tarkastaminen ja palautteen antaminen oli työlästä. Jatkotutkimuksena voisi olla laajempi katsaus matematiikan etäopetuksen toteuttamistapoihin tai matematiikkaan soveltuvien etäopetusalustojen kehittäminen.