Browsing by study line "Teacher in Mathematics"

Tässä työssä tutkitaan integraalitehtävien osaamista ennen ja jälkeen sähköisen ylioppilaskoeuudistuksen vuosina 2016-2020. Osaamista tutkitaan Ylioppilastutkintolautakunnalta saaduilla pistejakaumilla kyseisiltä vuosilta. Työn teoriaosuus sisältää, mitä integraalista opetetaan yliopistossa, sekä miten integraali näkyy kahdessa uusimmassa lukion opetussuunnitelmassa ja yhdessä oppikirjassa. Lisäksi tutustutaan aikaisempiin tutkimuksiin integraalin osaamisesta. Tutkielmaan rajatulla aikavälillä matematiikan ylioppilaskokeissa on ollut kuusi puhtaasti integraaliin liittyvää tehtävää, joista neljä on ollut ennen sähköistä ylioppilaskoeuudistusta ja kaksi jälkeen sähköisen ylioppilaskouudistuksen. Kaksi tehtävää on ylioppilaskokeen A-osion tehtäviä, kaksi B1-osan tehtäviä ja kaksi B2- osan tehtävää. Lisäksi työssä esitellään kaikki tehtävät ja esitellään jokaiselle tehtävälle yksi ratkaisutapa. Tutkimuksessa verrattiin A-osan tehtävien osaamista toisiinsa, B1-osan tehtävien osaamista toisiinsa ja B2-osan tehtävien osaamista toisiinsa pistejakaumien avulla, sekä verrattiin integraalitehtävien osaamista muiden matematiikan ylioppilaskokeen tehtävien osaamiseen. Integraalitehtäviä osattiin heikommin kuin muita matematiikantehtäviä. Tutkimuksessa huomattiin, että integraalitehtävät eivät olleet muuttuneet rakenteeltaan sähköisen ylioppilaskoeuudistuksen aikana ainakaan vielä. Sähköisistä apuvälineistä ei ollut ratkaisuissa erityistä hyötyä verrattuna aikaisempaan. Tutkimuksen luotettavuuteen vaikuttaa vähäinen otanta, sekä ylioppilaskokeiden tehtävien keskinäiset eroavuudet kirjoituskerroittain, sekä tehtäviin vastaajien vaihtuvuus

Tutkielman lähtökohtana oli etsiä keinoja hyödyntää mobiililaitteita suomalaisen koulun matematiikan opetuksessa. Keinoksi valikoitui Ismo Kiesiläisen kehittämä kamerakynän pedagogiikka, jonka ideana on ilmaista ajattelua videokuvaamisen avulla. Kamerakynän pedagogiikan käyttämistä matematiikan opetuksessa on haastavampaa kuin esimerkiksi kemian opetuksessa. Helpotusta tähän haasteeseen etsitään hollantilaisesta matematiikan opetuksen teoriasta nimeltä realistinen matematiikan opetus (RME), joka on Hans Freuthendalin aikaansaannosta. Tässä tutkielmassa tavoitteena on soveltaa RME:tä kamerakynän pedagogiikkaan. Kamerakynän pedagogiikasta ei ole tutkimusta, joten sitä tarkastellaan muun muassa Pekrunin akateemisten tunteiden tutkimuksen kautta. Ensimmäisessä osassa selvitetään, miten RME on kehittynyt, mitä RME tarkoittaa ja mitkä ovat sen periaatteet sekä miten RME näkyy matematiikan tehtävissä. Toisessa osassa ensin kerrotaan, mitä kamerakynän pedagogiikka tarkoittaa, sitten tarkastellaan tutkimusten kautta, mitä hyötyä siitä on oppimisessa ja lopuksi käydään läpi, mitä kamerakynän pedagogiikka on käytännössä matematiikan näkökulmasta. Tutkielman kolmannessa osassa tarkastellaan, miltä kamerakynän pedagogiikka näyttää RME:n näkökulmasta. Lopuksi on esitetty kaksi kamerakynätehtävää yläkoulun matematiikan opetukseen. Tutkielman perusteella kamerakynätyöskentely sopii yhdeksi keinoksi toteuttaa realistisen matematiikan opetuksen periaatteita ja tavoitteita. Tätä varten tarvitaan enemmän ideoita tehtäviin ja näiden tehtävien kokeilua käytännön työssä.

Tutkimuksen tavoitteena oli validoida katseenseurantatutkimukseen liittyvä parametri, katsesynkronia, joka kertoo kahden tai useamman henkilön katseiden synkroniasta eli siitä, katsovatko henkilöt samassa järjestyksessä eri kohteita. Katsesynkronian validointi tehtiin tutkimalla sitä, mitkä tapahtumat johtivat korkeaan katsesynkroniaan, minkälaista vuorovaikutusta sen aikana oli ja mitkä tapahtumat päättivät sen. Samalla pyrittiin tutkimaan katsesynkronian yhteyttä yhdistyneeseen tarkkaavaisuuteen, johon liittyvät tutkimukset käsittelevät sitä lähes poikkeuksetta vain kahden henkilön välisenä vuorovaikutuksena, mikä johtuu ilmiön monimutkaisuudesta. Katseenseurantalaitteisto ja uusi parametri sen sijaan tarjoavat mahdollisuuden tutkia yhdistynyttä tarkkaavaisuutta kolmen tai useamman henkilön välisenä vuorovaikutuksena. Tutkimuksessa tarkastellaan matematiikan ongelmanratkaisuun liittyvällä oppitunnilla neljän yhdeksäsluokkalaisen oppilaan ryhmää, jossa keskitytään kolmen oppilaan katseisiin. Oppilaiden katseet tallennettiin katseenseurantalaseilla, jotka eivät rajoittaneet liikkumista. Katsevideoita analysoimalla saatiin katsesynkroniakuvaajat, joita analysoitiin kvalitatiivisesti syventymällä kuvaajien huippuihin. Tutkimalla huippujen aikaista oppilaiden välistä vuorovaikutusta äänitallenteiden ja videomateriaalien avulla saatiin vastaukset tutkielman tutkimuskysymyksiin. Korkeaan katsesynkroniaan johtavat tapahtumat olivat suurelta osin opettajan intervention seurauksia, mikä kertoo opettajan tärkeästä roolista motivaatiota ylläpitävänä tekijänä. Korkean katsesynkronian aikana oppilaiden välinen vuorovaikutus oli monipuolista ja se sisälsi monia vuorovaikutuksen muotoja, joista puhe ja osoittavat eleet olivat yleisimpiä. Katsesynkronian päättyminen johtui ajoittain oppilaiden toiminnan muutoksesta, ja joskus toiminta pysyi samana, vaikka katsesynkronia laski. Yhdistyneen tarkkaavaisuuden ja korkean katsesynkronian välillä löydettiin vahva yhteys. Korkean katsesynkronian aikana oppilaat ohjasivat toistensa tarkkaavaisuutta lukuisilla tavoilla, jotka viittaavat yhdistyneeseen tarkkaavaisuuteen.

Tutkielman tavoitteena oli selvittää, minkälaisia virheitä lukiolaiset tekevät kertolaskusäännön tehtävissä sekä tutkia, tunnistavatko he toisistaan riippuvat ja riippumattomat tapahtumat. Aihetta on tärkeä tutkia, sillä kertolaskusääntö on yksi todennäköisyyden laskusäännöistä ja luo siten perustan todennäköisyyksien laskuille. Tutkielma alkaa teoriaosuudella, jossa ensiksi käydään läpi todennäköisyyslaskennan teoriaa ja tämän jälkeen virheiden sekä virhekäsitysten teoriaa. Teoriaosuuden jälkeen esitellään lyhyesti pitkän matematiikan ylioppilaskoe. Tutkimuksessa käydään läpi viisi pitkän matematiikan ylioppilaskokeen tehtävää ja ne analysoidaan. Työn lopuksi esitellään tehtäväpaketti tukemaan kertolaskusäännön opiskelua. Tutkimustuloksista havaittiin, että yleisimmät kertolaskusäännön virheet johtuivat vaikeuksista erottaa toisistaan riippuvat ja riippumattomat tapahtumat toisistaan. Virheistä noin 14% johtui tästä. Toinen yleinen virhe, mikä tuloksista nousi esille, oli sekaannukset kerto- ja yhteenlaskusäännön välillä. Virheistä noin 9% johtui tästä. Opettajan on tärkeä tiedostaa nämä yleiset virhetyypit, jotta voi osaltaan ennaltaehkäistä niiden syntymistä.

Tässä tutkielmassa tarkastellaan kielentämistä matemaattisen ajattelun työvälineenä sekä pureudutaan yleisiin virhekäsityksiin todennäköisyyslaskennassa. Lisäksi käsitellään miniteorioita näiden virhekäsitysten selittäjinä. Lopuksi on laadittu ja luokiteltu yksi tehtävä jokaista virhekäsitystä kohden. Näiden tehtävien tarkoitus on paljastaa virhekäsitys, ja antaa mahdollisuus korjata se. Kielentäminen on tärkeä osa jokaisen ammattilaisen ja erityisesti asiantuntijan ammattia. Mikäli ammattilainen ei pysty selittämään tietoaan siten että muutkin ymmärtävät sen, ei hänen laajasta osaamisestaan ole juuri hyötyä. Onkin harmi, että kielentämistä opetetaan matematiikassa oikeastaan vasta lukiotasolla. Onkin siksi tärkeää, että varsinkin lukioon laaditaan kielentämisen tehtäviä. Näin säästyy opettajien työtä ja oppijat saavat mahdollisuuden rehellisesti tutustua kielentämiseen työkaluna. Tutkielma perustuu kielentämisen, virhekäsitysten ja oppimisen luokittelun teoriaan. Kielentämisessä on kyse matemaattisen ajattelun sanoittamisesta ja oman ajattelun jäsentämisestä. Kielentämisen suhteen tutkielma nojaa Jorma Joutsenlahden työhön aiheen saralla. Virhekäsitysten selittämiseksi on tässä työssä valittu miniteoriat, joiden osalta nojataan Guy Claxtonin työhön. Oppimisen luokittelua käydään läpi alkaen Bloomin taksonomiasta ja päätyen Wilsonin taksonomian kautta Jorma Joutsenlahden laatimaan kolmiportaiseen taksonomiaan. Tämä on oleellista, sillä laaditut tehtävät on tämän jälkeen luokiteltu juuri Joutsenlahden taksonomian mukaisesti, jotta niiden käyttö olisi mahdollisimman helppoa. Virhekäsitysten korjaamiseksi laaditut tehtävät sisältävät perustelut, miksi ne voisivat toimia kyseisen virhekäsityksen korjaamiseksi. Tehtäviä on laadittu yksi jokaista virhekäsitystä kohden. Näitä virhekäsityksiä on kahdeksan kappaletta. Tutkielman perimmäinen tarkoitus onkin esittää tieteellisesti perusteltuja työkaluja virhekäsitysten korjaamiseen, tässä erityisesti kielentämisen keinoin.

Ylioppilaslautakunnan (2020) pistejakaumien perusteella lukiolaisten osaaminen todennäköisyys- ja tilastolas- kennan tehtävissä on ollut keskimäärin muita tehtäviä huonompaa vuosina 2011-2020. Tämän maisterintutkiel- man tavoitteena on edistää lukiolaisten todennäköisyys- ja tilastolaskennan osaamista luomalla lukioon sopivaa opiskelumateriaalia kombinatoriikasta. Työn matemaattinen osuus käsittelee lukiossa tarvittavaa kombinatoriikkaa. Osiossa käydään läpi kombinato- riikan peruskäsitteet: tuloperiaate, summaperiaate, kombinaatio ja permutaatio sekä todistetaan niihin liittyviä lauseita. Lisäksi esitellään lyhyesti binomikerroin sekä Pascalin kolmio. Kombinatoriikan itseopiskelu -osio sisältää kasvatustieteellisen teorian, jonka varaan materiaalin valinnat ja linjaukset pohjautuvat. Osiossa keskitytään kombinatoriikan ja ongelmanratkaisun oppimiseen sekä käsitellään teorioita itsenäisen opiskelun näkökulmasta. Matemaattisia representaatioita käydään läpi opiskelumateriaalin sisällön kannalta ja itsearviointia pohditaan lyhyesti. Itseopiskelumateriaali esitellään työn neljännessä osiossa. Osio etenee materiaalin lukujen järjestyksessä viita- ten työn teoriaosion keskeisiin sisältöihin ja niiden näkymiseen materiaalin sisällöissä. Valmis materiaali antaa raamit kombinatoriikan itseopiskeluun soveltuvan materiaalin luomiseen. Se toimii esimerkkinä ja luo mahdol- lisuuksia tutkimusperustaisen opiskelumateriaalin tekemiseen. Materiaalissa olevia ohjeita, esimerkkejä ja teh- tävänantojen tulkintoja voi käyttää sellaisenaan erillisinä osina opetuksen tai itsenäisen opiskelun materiaalina.

Tämä maisterintutkielma on kehittämistutkimus, jossa kehitetään yläkoulun matematiikan oppitunneille tarinallista opetusta hyödyntävä lineaarifunktioihin keskittyvä oppimateriaali. Työ on rajattu kehittämistutkimuksen yhteen kehittämissykliin. Tämän kehittämistutkimuksen ensimmäisen syklin ongelma-analyysissä huomioidaan tarinallisen opetuksen luomat mahdollisuudet ja haasteet. Lisäksi ongelma-analyysissä tarkastellaan lineaarifunktioiden oppimisen haasteita, perusopetuksen opetussuunnitelman sisältöjä lineaarifunktioista ja vertaillaan kolmea eri oppimateriaalisarjaa keskenään lineaarifunktioiden käsittelyn osalta. Tämän työn tavoitteena on kehittää mahdollisimman toimiva tarinallinen tehtäväkokonaisuus lineaarifunktioista. Ongelma-analyysin pohjalta kehitetyn oppimateriaalin toimivuutta tutkitaan kyselytutkimuksella. Testausosion osallistujina toimii viisi matematiikan aineenopettajaopiskelijaa. Tutkimuksen tulosten perusteella todetaan, että lineaarifunktioihin keskittyvän tarinallisen oppimateriaalin ensimmäinen versio on jo toimiva kokonaisuus. Erityisesti tehtäväpaketin monipuolisuutta pidetään sen vahvuutena. Kyselytutkimuksen perusteella oppimateriaalin tarina kuten myös sen tehtävät koettiin monitahoisiksi. Työn johtopäätöksenä todetaan, että kehitettyä tehtäväpakettia voi kuitenkin jatkojalostaa yhä toimivammaksi kokonaisuudeksi. Tämä vaatii kehittämistutkimuksen toisen kehittämissyklin. Toisen kehittämissyklin myötä tutkimuksen ja tuotteen luotettavuus kasvaisi. Toisen kehittämissyklin tavoitteiksi olisi kannattavaa asettaa oppimateriaalin luettavuuden parantaminen ja sen monialaisuuden kasvattaminen.

Tässä tutkielmassa tarkastellaan, millaisia virheitä opiskelijoilla ilmenee matematiikan ylioppilaskokeissa sanallista perustelua vaativissa tehtävissä. Lisäksi pyritään löytämään keinoja, joilla esiin tulleita virheitä voitaisi ehkäistä matematiikan opetuksessa. Matematiikan ylioppilaskokeiden sähköistyttyä tehtävien sisällöt ja vaatimukset ovat muuttuneet merkittävästi soveltavammiksi. Kun opiskelijalta esimeriksi vaaditaan sanallisia perusteluja, niin voidaan havaita, ymmärtääkö opiskelija tekemiään laskuja vai toimiiko hän suoraan saatavilla olevien kaavojen ja laskinten orjana, ja tämän vuoksi aihetta on myös tärkeä tutkia. Tutkielman teoriapohja koostuu matematiikan ymmärtämisen sekä kielentämisen tarkastelusta. Matematiikan ajatusprosessin esittäminen sanallisesti vaatii matematiikan rakenteiden pohtimista sekä oman matemaattisen ajattelun jäsentämistä siten, että asian voi ilmaista selkeästi. Opetussuunnitelmassa myös korostetaan päätelmien perustelemista sekä arviointia osana matematiikan osaamista. Tutkielman aineisto koostuu vuosien 2019-2021 sähköisistä pitkän ja lyhyen matematiikan ylioppilaskokeiden kokelasratkaisuista. Tehtävät eivät keskity mihinkään tiettyyn matematiikan aihealueeseen. Tehtävät valikoituivat näin, koska sähköiset ylioppilaskokeet ovat mahdollistaneet pidempiä sanallisia vastauksia vaativia tehtäviä, jotka ovat oleellisia tämän tutkimuksen kannalta. Valittuja sanallista perustelua vaativia tehtäviä on yhteensä viisi, joista jokaisesta poimittiin 100 ratkaisua. Saadusta aineistosta nousi esiin melko erilaisia virheitä, riippuen tarkastellusta tehtävästä ja sen aihealueesta. Yleisimmät virheet liittyivät abstraktien kertoimien käsittelyyn, mistä voidaan päätellä, että opiskelijoilla on vaikeuksia käsitellä funktioita ja polynomeja ilman konkreettisia lukuja. Tämän lisäksi ratkaisut olivat melko suppeita, mikä tuotti hankaluuksia ymmärtää ratkaisijoiden ajatusprosesseja ja niiden oikeellisuutta. Virheiden korjaamiseksi tutkielmassa korostetaan sitä, että opitun soveltamista ja selittämistä sanallisesti tulisi harjoitella koko lukiomatematiikan oppimäärän ajan. Opettajan tulisi siis kiinnittää huomiota omaan opetuspuheeseensa sekä rohkaista opiskelijoita perustelemaan rohkeasti päätelmiään sanallisesti sekä ääneen oppitunneilla että kirjallisesti tehtäviä tehdessään. Tutkielmassa esitellään myös tehtävätyyppejä, joita matematiikan opetuksessa voitaisi käydä läpi, jotta opiskelijoiden perustelu- ja soveltamistaidot voisivat kehittyä paremmin, ja esiin tulleita virheitä voitaisi ehkäistä.

Opettajan työllä on Suomessa vahva yhteiskunnallisesti merkittävä asiantuntija-asema eli opettajan työ mielletään professioksi. Opettajan työ nauttii yhteiskunnan luottamusta koulutusvaatimusten, ammattikunnan autonomian ja eettisten velvoitteiden johdosta. Opettajiin ja oppikirjantekijöihin luotetaan vahvasti, mutta voiko luottamukseen täysin perustaa mitään toimintaa? Tutkin pro gradu tutkielmassani lukion geometrian MAA3 -kurssin oppikirjoja ja vertaan niitä lukion opetussuunnitelman perusteisiin. Tutkielmassani vertaan lukion opetussuunnitelmien perusteiden yhtenevyyttä lukion oppikirjojen sisältöihin. Selvitän myös, mitä taitoja ylioppilaskirjoituksissa olleiden geometrian tehtävien ratkaiseminen on vaatinut ja ovatko nämä taidot yhtenevät opetussuunnitelman perusteiden ja oppikirjojen sisältöjen kanssa. Tutkielmassa käytetään aksiomaattista lähestymistapaa geometrian tutkimiseen. Tasogeometrian aksioomat luovat perustan geometrisille perusajatuksille. Yhdessä aksioomien kanssa käsitteet, piste, suora ja taso antavat teorian, jolla voidaan osoittaa todeksi suuri määrä geometrisia lauseita. Esittelen tutkielman kannalta tarpeelliset euklidisen tasogeometrian aksioomat sekä tasogeometrian peruskäsitteitä, lauseita ja tuloksia. Lauseet ja tulokset on valittu niin, että ne kattavat tutkielmassa käsiteltävien ylioppilastehtävien teoriapohjan. Vertaan tutkielmassani opetussuunnitelman sisältöjä oppikirjoihin ja ylioppilastehtäviin. Kun opetussuunnitelman perusteita verrataan oppimateriaaleihin tai ylioppilastehtäviin, on huomattava, että lukija tulkitsee opetussuunnitelman perusteita oman näkemyksensä mukaan. Opetussuunnitelman perusteiden teksti on varsin tiivistä ja kaikkia sen sisältämiä tavoitteita ja sisältöjä ei ole selkeästi määritelty. Näin ollen tulkintani tutkielmassa ja päätelmäni opetussuunnitelman perusteista ovat omiani ja joku toinen saattaa tulkita opetussuunnitelmien perusteita hieman eri tavalla. Tutkimani oppikirjat noudattelevat opetussuunnitelmien perusteita todella hyvin. Oppikirjat olivat myös ottaneet huomioon opetussuunnitelman perusteiden muutokset ohjelmistojen ja tietolähteiden käytöstä. Oppikirjojen avulla oli myös mahdollista ratkaista tutkimistani seitsemästä ylioppilastehtävästä kuusi. Yhden tehtävän ratkaisemisen mahdollisuus ei ollut täysin selvää, sillä todistamisen taitoa harjoiteltiin tutkimissani oppikirjoissa melko vähän. Myös tutkimieni ylioppilastehtävien sisällöt vastasivat suurilta osin opetussuunnitelman perusteiden sisältöjä. Sisällöistä kuitenkin puuttui suhteen käsite sekä yksikönmuunnokset. Tutkimissani oppikirjoissa oli todella paljon yhteistä, mutta pieniä eroja sisällöissä ja asioiden esitysjärjestyksessä. Kaikki tutkimani kirjat olivat samalta kustantajalta, joten tutkimusta voisi jatkaa myös muiden kustantajien kirjoihin. Oppikirjojen sähköistyminen tuo myös uusia mahdollisuuksia kirjan sisältöjen lisäämiseen ilman, että se lisää kirjan painoa. Tulevissa digikirjoissa sähköistä esitysmuotoa osataan hyödyntää vielä monipuolisemmin kuin tutkimassani digikirjassa. Digitaaliseen oppikirjaan oli jokaisen tehtävän yhteyteen lisätty malliratkaisu välivaiheineen ja havainnekuvineen. Tulevaisuudessa olisikin mielenkiintoista tutkia tuottaako malliratkaisujen olemassaolo positiivisia vai negatiivisia oppimistuloksia. Matematiikan opiskelu onkin sähköistymisen ja ohjelmistojen kannalta murroksessa. Luulenkin, että ohjelmistojen merkitys matematiikan opetussuunnitelmien perusteissa tulee kasvamaan tulevaisuudessa.

Tutkielmani tarkoituksena on selvittää, minkälaista tukea lukio-opiskelijalle on tarjolla oppilaitoksessaan MAOLin matematiikkakilpailuihin valmistautumista varten. Tutkimus toteutettiin kyselylomakkeella ja teemahaastatteluilla, joihin vastasivat ja osallistuivat opettajat niistä oppilaitoksista, joista osallistui useampi kilpailija vuoden 2021 matematiikkakilpailuihin. Tutkielmani toisena tarkoituksena on, tutkimuksessa saatujen tulosten perusteella, esitellä suunnitelma lukiossa järjestettävälle ja kilpailumatematiikkaan valmistavalle matematiikkakerholle. Tutkimukseen valmistauduin tutustumalla perusteellisesti MAOLin matematiikkakilpailuihin ja niissä esiintyviin tehtäviin, kansainvälisiin matematiikkakilpailuihin, matematiikkavalmennukseen ja suomenkieliseen kilpailumatematiikkamateriaaliin. Nämä aiheet on esitelty myös tässä tutkielmassa. Tutkittavaksi valikoituivat oppilaitokset, joista osallistui useampi kilpailija MAOLin matematiikkakilpailuin syksyllä 2021. Tutkimukseen suostui 10 oppilaitosta, joista kyselylomakkeeseen vastasi kuusi näiden oppilaitosten matematiikan opettajaa. Kyselylomakkeessa haastatteluun suostuneita opettajia oli kaksi, ja heidän kanssaan järjestettiin teemahaastattelut keväällä 2023, aiheena oppilaitoksessa tarjottava tuki matematiikkakilpailuihin valmistautumiseen. Tutkimuksen perusteella oppilaitoksilla on erilaisia tapoja valmistaa opiskelijoitaan matematiikkakilpailuihin. Tavat vaihtelevat opiskelijoiden omatoimisesta valmistautumisesta, tarjottavaan matematiikkakerhoon ja kilpailuvalmennukseen, josta saa lukiokurssin. Yhteistä oli, että oppilaitoksissa opiskelijoita tiedotettiin kilpailuista henkilökohtaisesti joko suullisesti tai viestillä. Haastatelluissa oppilaitoksissa tärkeäksi koettiin ryhmäytyminen matematiikkakilpailuihin valmistautuessa ja oppitunneilla opetettavan matematiikan korkea taso.